数学Ａ ： 整数の性質 $n$進法の計算（整数）
例題
(2) $10$進数の$234$を$8$進数と$5$進法で表しなさい。
復習
$n$進法についてはちゃんと説明しておいた方がいいので、遠回りっぽいけど原理の話をする。
最初に、$10$進数で$234$っていう数字の意味を考えよう。
学校で先生にプリントの枚数を数えるように頼まれたとする。
よくやる数え方は、$10$ずつ組にしてゆく方法だ。
図Ａのように、$234$枚のプリントを$10$枚ずつ束にする。
$23$束できて、$4$枚余った。
できた$23$束を、図Ｂのように$10$束ずつセットにする。
$2$セットできて、$3$束余った。
結局できたのは、
$100$枚（$10^{2}$枚）のセットが$2$つ
$10$枚（$10^{1}$枚）の束が$3$つ
束にならなかったのが$4$枚
なので、
$2\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+4\cdot 10^{0}=234$
より、プリントは$234$枚あった。
以上から、$234$ってのは
という意味だと分かる。
こんな感じで、$10$ずつ組にして数える方法を$10$進法という。
$8$ずつ組にして数えると$8$進法、$4$ずつ組にして数えると$4$進法、$2$ずつ組にして数えると$2$進法だ。
組にする数のことを「記数法の底」または「基数」という。
$10$進法の基数は$10$、$8$進法の基数は$8$、$2$進法の基数は$2$だ。
また、$n$進法で表した数のことを、$n$進数という。
何進数かを示すために、例えば$8$進法だと
$234_{(8)}$
のように、基数を（）に入れて数字の右下に書く。
$10$進数のときには、普通は$(10)$を省略する。
(1)
復習が終わったところで、例題を解く。
(1)は、$n$進数を$10$進数に変換する問題だ。
まず、$234_{(8)}$を$10$進数に変換する。
復習のようにプリントで考えると、$234_{(8)}$は
$8^{2}$枚のセットが$2$つ
$8^{1}$枚の束が$3$つ
束にならなかったのが$4$枚
となる。
なので、$234_{(8)}$を$10$進数にすると
$2\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}=156$
だ。
解答$156$
次は、$234_{(5)}$だ。
$8$進法のときと同様に考えて、
$$
\begin{align}
234_{(5)}&=2\cdot 5^{2}+3\cdot 5^{1}+4\cdot 5^{0}\\
&=69
\end{align}
$$
である。
解答$69$
(2)
次は、$10$進数の$234$を$8$進法で表す。
ということは、$234$枚のプリントを$8$ずつ組にする作業をすればいいわけだ。
図Ｃのように、$234$枚のプリントを$8$枚ずつ束にする。
$29$束できて、$2$枚余った。
できた$29$束を、図Ｄのように$8$束ずつセットにする。
$3$セットできて、$5$束余った。
結局できたのは、
$8^{2}$枚のセットが$3$つ
$8^{1}$枚の束が$5$つ
束にならなかったのが$2$枚
なので、$234$は$8$進法で
$352_{(8)}$
と表せる。
考え方は上の通りなんだけど、共通テスト本番でプリントを数えるわけにもゆかない。
計算で同じ作業をしよう。
プリントの数（$234$）を、組にする数（$8$）で割る。
$234$を$8$で割ると、
$234\div 8=29...2$
より
$8^{1}$枚の束が$29$
余りが$\textcolor{red}{2}$枚
できる。
商（できた束の数）を、また$8$で割る。
$29\div 8=3...5$
より
$8^{2}$枚のセットが$3$つ
余りが$\textcolor{red}{5}$束
できる。
商（できたセットの数）をまた$8$で割る。
$3\div 8=0...3$
より
$8^{3}$枚のかたまりが$0$
余りが$\textcolor{red}{3}$セット
できる。
商が０になったから終わり。
よって、10進数の$234$を８進数にしたものは、赤文字の余りを右から順に並べた
$352_{(8)}$
である。
解答$352_{(8)}$
以上の計算をまとめると、次のようになる。
赤文字の余りを右から並べると、変換した$8$進数ができる。
$5$進数も、$8$進数と同様に考えよう。
赤文字の余りを小さい桁から順に並べて、
$234=1414_{(5)}$
である。
解答$1414_{(5)}$