旧課程 : 整数の性質 $n$進法の計算(整数)

例題

(1) $8$進数の$234_{(8)}$と$5$進数の$234_{(5)}$を$10$進法で表しなさい。
(2) $10$進数の$234$を$8$進数と$5$進法で表しなさい。

復習

$n$進法についてはちゃんと説明しておいた方がいいので、遠回りっぽいけど原理の話をする。
最初に、$10$進数で$234$っていう数字の意味を考えよう。


学校で先生にプリントの枚数を数えるように頼まれたとする。
よくやる数え方は、$10$ずつ組にしてゆく方法だ。

図Aのように、$234$枚のプリントを$10$枚ずつ束にする。

図A
n進法の計算(整数) 解説図A

$23$束できて、$4$枚余った。

できた$23$束を、図Bのように$10$束ずつセットにする。

図B
n進法の計算(整数) 解説図B

$2$セットできて、$3$束余った。

結局できたのは、
$100$枚($10^{2}$枚)のセットが$2$つ $10$枚($10^{1}$枚)の束が$3$つ 束にならなかったのが$4$枚 なので、
$2\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+4\cdot 10^{0}=234$
より、プリントは$234$枚あった。


以上から、$234$ってのは

n進法の計算(整数) 解説図

という意味だと分かる。

こんな感じで、$10$ずつ組にして数える方法を$10$進法という。
$8$ずつ組にして数えると$8$進法、$4$ずつ組にして数えると$4$進法、$2$ずつ組にして数えると$2$進法だ。

組にする数のことを「記数法の底」または「基数」という。
$10$進法の基数は$10$、$8$進法の基数は$8$、$2$進法の基数は$2$だ。

また、$n$進法で表した数のことを、$n$進数という。

何進数かを示すために、例えば$8$進法だと
$234_{(8)}$
のように、基数を()に入れて数字の右下に書く。
$10$進数のときには、普通は$(10)$を省略する。

(1)

復習が終わったところで、例題を解く。
(1)は、$n$進数を$10$進数に変換する問題だ。

まず、$234_{(8)}$を$10$進数に変換する。

復習のようにプリントで考えると、$234_{(8)}$は
$8^{2}$枚のセットが$2$つ $8^{1}$枚の束が$3$つ 束にならなかったのが$4$枚 となる。

なので、$234_{(8)}$を$10$進数にすると
$2\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}=156$
だ。

解答$156$

次は、$234_{(5)}$だ。

$8$進法のときと同様に考えて、
$$ \begin{align} 234_{(5)}&=2\cdot 5^{2}+3\cdot 5^{1}+4\cdot 5^{0}\\ &=69 \end{align} $$ である。

解答$69$

(2)

次は、$10$進数の$234$を$8$進法で表す。
ということは、$234$枚のプリントを$8$ずつ組にする作業をすればいいわけだ。

図Cのように、$234$枚のプリントを$8$枚ずつ束にする。

図C
n進法の計算(整数) 解説図C

$29$束できて、$2$枚余った。

できた$29$束を、図Dのように$8$束ずつセットにする。

図D
n進法の計算(整数) 解説図D

$3$セットできて、$5$束余った。

結局できたのは、
$8^{2}$枚のセットが$3$つ $8^{1}$枚の束が$5$つ 束にならなかったのが$2$枚 なので、$234$は$8$進法で
$352_{(8)}$
と表せる。


考え方は上の通りなんだけど、共通テスト本番でプリントを数えるわけにもゆかない。
計算で同じ作業をしよう。
プリントの数($234$)を、組にする数($8$)で割る。

$234$を$8$で割ると、
$234\div 8=29...2$
より
$8^{1}$枚の束が$29$ 余りが$\textcolor{red}{2}$枚 できる。

商(できた束の数)を、また$8$で割る。
$29\div 8=3...5$
より
$8^{2}$枚のセットが$3$つ 余りが$\textcolor{red}{5}$束 できる。

商(できたセットの数)をまた$8$で割る。
$3\div 8=0...3$
より
$8^{3}$枚のかたまりが$0$ 余りが$\textcolor{red}{3}$セット できる。
商が0になったから終わり。

よって、10進数の$234$を8進数にしたものは、赤文字の余りを右から順に並べた
$352_{(8)}$
である。

解答$352_{(8)}$

以上の計算をまとめると、次のようになる。

n進法の計算(整数) 解説

赤文字の余りを右から並べると、変換した$8$進数ができる。


$5$進数も、$8$進数と同様に考えよう。

n進法の計算(整数) 解説

赤文字の余りを小さい桁から順に並べて、
$234=1414_{(5)}$
である。

解答$1414_{(5)}$