まず、解の公式をちゃんと理解するために、自分で作ってみよう。

二次方程式
$ax^{2}+bx+c=0$
の左辺を平方完成すると、

途中式

$a\left(x^{2}+\dfrac[b}{a}x\right)+c=0$
$a\left\{x^{2}+2\cdot\dfrac{b}{2a}x+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^{2}\right\}+c=0$
$a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-a\left(\dfrac{b}{2a}\right)^{2}+c=0$
２項目と３項目を通分して、
$a \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{ab^{2}}{(2a)^{2}}+\dfrac{(2a)^{2}c}{(2a)^{2}}=0$

$a\biggl(x+$$\dfrac{b}{2a}$$\biggr)^{2}-a\cdot \dfrac{b^{2}-4ac}{(2a)^{2}}=0$①
となる。

①の両辺を$a$で割る。
最初に二次方程式とことわってあるので、$a\neq 0$だから割っても問題ない。
ちょっと変わった手順で計算しているのは、話の都合による。

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}-4ac}{(2a)^{2}}=0$
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}=\dfrac{b^{2}-4ac}{(2a)^{2}}$

両辺の平方根をとって、
$$ \begin{align} x+ \dfrac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\dfrac{b^{2}-4ac}{(2a)^{2}}}\\ &=\pm\dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|2a|} \end{align} $$ だけど、右辺の分母の絶対値は今はなくても大丈夫なので
$x+ \dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
とかける。

あとは、$\dfrac{b}{2a}$を移項すれば、
$$ \begin{align} x&=- \dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ &=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{align} $$ となって、解の公式ができる。

計算の途中に気づいたかもしれないけど、解の公式の$\dfrac{b}{2a}$の部分は、①の赤い部分からきている。

なので、解の公式の前半の$- \dfrac{b}{2a}$は、放物線$y=ax^{2}+bx+c$の軸（頂点の$x$座標）だ。

また、解の公式の√の中の$b^{2}-4ac$を考えると、

$b^{2}-4ac\lt0$のとき、
$\sqrt{b^{2}-4ac}$は負の数の平方根になってしまうので、実数解にならない

$b^{2}-4ac=0$のとき、方程式の実数解は
$\dfrac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\dfrac{-b}{2a}$
の１個

$b^{2}-4ac\gt0$のとき、方程式の実数解は
$\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
だけど、これを復号を使わずに書くと、
$\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$と$\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
で２個

である。
つまり判別式だ。

さらに、二次方程式が実数解を持つとき、２つの解の差は、解の公式より

$$ \begin{align} &\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ &\qquad= \dfrac{2\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ &\qquad= \dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}\TF{式Ａ} \end{align} $$

である。

$a\lt0$のとき 式Ａは負の値になるから、必要に応じて$-$をつける。

以上をまとめると、

となる。

このうち、放物線の軸と２つの解の差を、下の例題で実際に使ってみよう。

問題を見てすぐに気づくのは、
$x=0$のとき$y=-1$なので、定義域の左端($x=0$)は最大値でも最小値でもない ということ。
なので、定義域の左端以外に最大値・最小値がないといけない。

この場合、

$a\gt0$なので、最小値が頂点、最大値が定義域の右端($x=3$) 最大値が定義域の右端なので定義域の左半分に頂点がある

となり、図Ｂのようなグラフになるはず。

この方針で解いてみよう。

まず、この二次関数のグラフの頂点を求める。
平方完成してもいいんだけど、係数が文字だらけで面倒なので、ここでは上で解説した方法を使う。

図Ａより、頂点の$x$座標は
$\dfrac{-(-b)}{2a}=\dfrac{b}{2a}$
である。

これが定義域の左半分にあるので、
$0\lt \dfrac{b}{2a}\lt\dfrac{3}{2}$
$0\lt \dfrac{b}{a}\lt3$式Ｂ
でないといけない。

頂点の$x$座標を二次関数の式に代入すると、
$y=a \left(\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-b\cdot\dfrac{b}{2a}-1$
より
$$ \begin{align} y&= \dfrac{b^{2}}{4a}-\dfrac{b^{2}}{2a}-1\\ &=-\dfrac{b^{2}}{4a}-1 \end{align} $$ となり、これが頂点の$y$座標だ。

頂点が最小値の$-3$なので、
$- \dfrac{b^{2}}{4a}-1=-3$
より
$\dfrac{b^{2}}{4a}=2$
$8a=b^{2}$
$a= \dfrac{b^{2}}{8}$式Ｃ
である。

また、定義域の右端の$x=3$を二次関数の式に代入すると、
$$ \begin{align} y&=3^{2}a-3b-1\\ &=9a-3b-1 \end{align} $$

このとき二次関数は最大値の$5$なので、
$9a-3b-1=5$
$9a-3b-6=0$
$3a-b-2=0$式Ｄ
である。

あとは、式Ｃと式Ｄの連立方程式を解く。

式Ｃを式Ｄに代入して、
$3 \cdot\dfrac{b^{2}}{8}-b-2=0$
より、両辺を$8$倍して
$3b^{2}-8b-16=0$

これをたすきがけすると

$3b$		$+4$	→	$4b$
$b$		$-4$	→	$-12b$
$3b^{2}$		$-16$		$-8b$

となるので、
$(3b+4)(b-4)=0$
と因数分解できる。
よって、
$b=- \dfrac{4}{3}$，$4$
となる。

$b=- \dfrac{4}{3}$のとき、これを式Ｃに代入して、
$a= \dfrac{\left(-\cfrac{4}{3}\right)^{2}}{8}$
だけど、このとき
$\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\cfrac{4}{3}}{\cfrac{\left(-\tfrac{4}{3}\right)^{2}}{8}}$$\lt0$
となって、式Ｂに合わない。
よって、不適。

$b=4$のとき、これを式Ｃに代入して、
$$ \begin{align} a&= \dfrac{4^{2}}{8}\\ &=2 \end{align} $$ だけど、このとき
$\dfrac{b}{a}=\dfrac{4}{2}=2$
となるので、式Ｂの条件を満たす。
なので、これが答えだ。

まず、図を描こう。

放物線が直線から切り取る線分の長さなので、問われているのは図Ｃの$\mathrm{AB}$（赤い線）の長さだ。
図Ｃの緑の三角形を考えると、
赤い線の傾きが$2$なので、$\mathrm{AC}:\mathrm{BC}=1:2$ $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}$の直角三角形なので、$\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}$ だから、
$\mathrm{AC}:\mathrm{AB}=1:\sqrt{5}$
より
$\mathrm{AB}=\sqrt{5}\mathrm{AC}$式Ｅ
であることが分かる。

というわけで、$\mathrm{AC}$を求めよう。

$\mathrm{AC}$は、点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の$x$座標の差にあたる。

点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標は、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
y=x^{2}-x\\
y=2x-1
\end{array}\right.$
の解なので、これを求める。

２つの式を辺々引くと、

	$y$	$=$	$x^{2}$	$-x$
$-)$	$y$	$=$		$2x$	$-1$
	$0$	$=$	$x^{2}$	$-3x$	$+1$

より、
$x^{2}-3x+1=0$
となる。

この２次方程式の２つの解の差が、$\mathrm{AC}$だ。

因数分解はできないので、解の公式を使って解を求めて引き算してもいいんだけど、ここでは図Ａの方法を使おう。

図Ａより、２つの解の差は
$$ \begin{align} \dfrac{\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}{1}&=\sqrt{9-4}\\ &=\sqrt{5} \end{align} $$ なので、
$\mathrm{AC}=\sqrt{5}$
である。

あとは、これを式Ｅに代入して、
$$ \begin{align} \mathrm{AB}&=\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\\ &=5 \end{align} $$

より、図Ｃの赤い線の長さ、つまり $y=x^{2}-x$が$y=2x-1$から切り取る線分の長さは$5$である。

解答５