お薦めの計算方法

解の公式より、
$x=\displaystyle \frac{15\pm\sqrt{15^{2}-4\cdot 1\cdot 18}}{2}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{15\pm\sqrt{(3\cdot 5)^{2}-4\cdot 2\cdot 3^{2}}}{2}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{15\pm\sqrt{3^{2}(5^{2}-4\cdot 2)}}{2}$
ルートの中を因数分解した。 $x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{15\pm 3\sqrt{25-8}}{2}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{15\pm 3\sqrt{17}}{2}$
である。

解答$x=\displaystyle \frac{15\pm 3\sqrt{17}}{2}$

やってはいけない計算方法

解の公式より、
$x=\displaystyle \frac{15\pm\sqrt{15^{2}-4\cdot 1\cdot 18}}{2}$
ルートの中をとりあえず展開するひとは多いけど、とりあえず展開は絶対ダメ。 $x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{15\pm\sqrt{225-72}}{2}$
で、とりあえず展開すると、でかい数になっちゃった。次は引き算するしかないよね。 $x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{15\pm\sqrt{153}}{2}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{15\pm\sqrt{3^{2}\cdot 17}}{2}$
$153$を$3^{2}$で割った。かけて割るって、無駄だよね。割りきれる数も見つけないといけなくなるし。
面倒なことになった理由は、最初に展開したから。
もう一度言うけど、とりあえず展開は絶対ダメ。
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{15\pm 3\sqrt{17}}{2}$
である。

解答$x=\displaystyle \frac{15\pm 3\sqrt{17}}{2}$

お薦めの計算方法

式Ａ～Ｃより、求める確率は
$\displaystyle \frac{{}_{20}\mathrm{C}_{4}+{}_{12}\mathrm{C}_{4}}{{}_{52}\mathrm{C}_{4}}$
$\displaystyle = \frac{ \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{ \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}}} + \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{ \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}}}}{\frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}{ \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}}}}$
分母分子に$4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$をかけた。 $\displaystyle = \frac{\textcolor{red}{\cancelto{\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{red}{2}}}}{\textcolor{black}{20}}} \cdot 19 \cdot \textcolor{green}{\cancelto{\textcolor{cyan}{\cancelto{3}{\textcolor{green}{6}}}}{\textcolor{black}{18}}} \cdot 17 + \textcolor{green}{\cancelto{\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{green}{4}}}}{\textcolor{black}{12}}} \cdot 11 \cdot \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{10}}} \cdot 9}{\textcolor{cyan}{\cancelto{13}{\textcolor{black}{52}}} \cdot \textcolor{green}{\cancelto{17}{\textcolor{black}{51}}} \cdot \textcolor{red}{\cancelto{5}{\textcolor{black}{50}}} \cdot 49}$
約分した。分子がたし算になっているので、$+$の前と後、両方約分するのを忘れずに。 $=\displaystyle \frac{19\cdot 3\cdot 17+11\cdot 9}{13\cdot 17\cdot 5\cdot 49}$
$=\displaystyle \frac{3(19\cdot 17+11\cdot 3)}{13\cdot 17\cdot 5\cdot 49}$
共通因数でくくった。これをしておかないと、後の約分の確認が面倒になる。 $=\displaystyle \frac{3\cdot 356}{13\cdot 17\cdot 5\cdot 49}$
分母の４つの数は、いずれも$3$で割り切れない。なので、これ以上約分できないかの確認は、$356$が$13$，$17$，$7$で割れるかを確認するだけで済む。 $=\displaystyle \frac{1068}{54145}$
である。

解答$\displaystyle \frac{1068}{54145}$

やってはいけない計算方法

式Ａより、４枚すべて偶数である場合の数は、
${}_{20}\mathrm{C}_{4}$
$\displaystyle =\frac{ \textcolor{green}{\cancelto{5}{\textcolor{black}{20}}} \cdot 19 \cdot \textcolor{red}{\cancelto{3}{\textcolor{black}{18}}} \cdot 17 }{ \textcolor{green}{\cancel{\textcolor{black}{4}}} \cdot \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{3 \cdot 2}}} \cdot 1}$
$= \textcolor{red}{5} \cdot 19\cdot 3\cdot 17$式Ａ'
$=4845$
となるので、$4845$通り。
「${}_{20}\mathrm{C}_{4}$通り」よりも、「$4845$通り」の方が何となく分かりやすそうな気がするから、とりあえず計算してみるひとも多いと思う。
でも、とりあえず計算はダメ。特に確率の問題は、必要がない限り部分的にちまちま計算してはいけない。後で面倒なことになりがちだ。
以下の${}_{12}\mathrm{C}_{4}$と${}_{52}\mathrm{C}_{4}$にも同じことが言える。

式Ｂより、４枚すべて絵札である場合の数は、
${}_{12}\mathrm{C}_{4}$
$\displaystyle = \frac{ \textcolor{green}{\cancel{\textcolor{black}{12}}} \cdot 11 \cdot \textcolor{red}{\cancelto{5}{\textcolor{black}{10}}} \cdot 9}{\textcolor{green}{\cancel{\textcolor{black}{4 \cdot 3}}} \cdot \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{2}}} \cdot 1}$
$=11\cdot \textcolor{red}{5} \cdot 9$式Ｂ'
$=495$
となるので、$495$通り。

式Ｃより、全体の場合の数は、
${}_{52}\mathrm{C}_{4}$
$\displaystyle =\frac{ \textcolor{cyan}{\cancelto{13}{\textcolor{black}{52}}} \cdot \textcolor{green}{\cancelto{17}{\textcolor{black}{51}}} \cdot \textcolor{red}{\cancelto{25}{\textcolor{black}{50}}} \cdot 49}{ \textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{black}{4}}} \cdot \textcolor{green}{\cancel{\textcolor{black}{3}}} \cdot \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{2}}} \cdot 1}$
$=13\cdot 17\cdot \textcolor{red}{25} \cdot 49$式Ｃ'
$=270725$
となるので、$270725$通り。

以上より、求める確率は
$\displaystyle \frac{4845+495}{270725}$
$=\displaystyle \frac{5340}{270725}$
部分的に計算したから、分母も分子も大きな数の分数ができた。これを約分してゆくわけだけど、分母分子を割りきれる数を探さないといけない。 $=\displaystyle \frac{1068}{54145}$
分母分子を$5$で割ったけど、これって式Ａ'～式Ｃ'の赤い部分のことだよね。結局、式Ａ'～式Ｃ'で$5$をかけて、同じ$5$で割り算して約分したことになる。時間の無駄だし、無駄な計算は計算間違いのもとになる。また、これ以上約分できないかを確認するのも大変だ。
こんなことになった理由は、${}_{20}\mathrm{C}_{4}$，${}_{12}\mathrm{C}_{4}$，${}_{52}\mathrm{C}_{4}$を先に計算しちゃったから。
もう一度言うけど、必要がない限り部分的にちまちま計算してはいけない。
である。

解答$\displaystyle \frac{1068}{54145}$

お薦めの計算方法

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k^{2}+k)$
$=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}+\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)$
$=\displaystyle \frac{1}{4}\{n(n+1)\}^{2}+\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)$
$=\displaystyle \frac{3}{12}\{n(n+1)\}^{2}+\frac{2}{12}n(n+1)(2n+1)+\frac{6}{12}n(n+1)$
通分した。 $=\displaystyle \frac{1}{12}n(n+1)\{3n(n+1)+2(2n+1)+6\}$
共通因数でくくった。 $=\displaystyle \frac{1}{12}n(n+1)(3n^{2}+3n+4n+2+6)$
$=\displaystyle \frac{1}{12}n(n+1)(3n^{2}+7n+8)$
となる。

解答$\displaystyle \frac{1}{12}n(n+1)(3n^{2}+7n+8)$

やってはいけない計算方法

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k^{2}+k)$
$=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}+\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)$
$=\displaystyle \frac{1}{4}n^{4}+\frac{1}{2}n^{3}+\frac{1}{4}n^{2}+\frac{1}{3}n^{3}+\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{6}n+\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$
とりあえず展開した。でも、とりあえず展開は、後で計算が面倒になるから絶対ダメ。 $=\displaystyle \frac{1}{4}n^{4}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)n^{3}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)n^{2}+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right)n$
$=\displaystyle \frac{1}{4}n^{4}+\frac{5}{6}n^{3}+\frac{5}{4}n^{2}+\frac{2}{3}n$
$=\displaystyle \frac{3}{12}n^{4}+\frac{10}{12}n^{3}+\frac{15}{12}n^{2}+\frac{8}{12}n$
通分した。 $=\displaystyle \frac{1}{12}n(3n^{3}+10n^{2}+15n+8)$
共通因数でくくった。 $=\displaystyle \frac{1}{12}n(n+1)(3n^{2}+7n+8)$
$3n^{3}+10n^{2}+15n+8$の$n$に$-1$を代入すると$0$になるので、$3n^{3}+10n^{2}+15n+8$は$n+1$で割り切れる。
３次式の因数分解をするハメになった理由は、先に展開しちゃったから。
しつこく言うけど、とりあえず展開は絶対ダメ。
となる。

解答$\displaystyle \frac{1}{12}n(n+1)(3n^{2}+7n+8)$