数学C : ベクトル 平面と垂直なベクトル

例題

4点$\mathrm{A}(1,0,0)$,$\mathrm{B}(0,b,0)$,$\mathrm{C}(0,0,c)$,$\mathrm{D}(4,2,1)$がある。
平面$\mathrm{ABC}$と、ベクトル$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$が垂直であるとき、$b$,$c$の値を求めなさい。

アドバイス

まず、ベクトルと平面が垂直である条件の復習をしておこう。

復習

平面と垂直なベクトル 解説図

ベクトルと平面が垂直であるためには、ベクトルが、平面上にある平行でない2つのベクトルと垂直であればよい。
つまり、
平面$\alpha$上にあるベクトルを$\vec{a}$,$\vec{b}$とする。
($\vec{a}\neq\vec{0}$,$\vec{b}\neq\vec{0}$,$\vec{a}\nparallel\vec{b}$)
このとき、
$\vec{c}$が平面$\alpha$と垂直 $\Leftrightarrow\ \vec{c}$⊥$\vec{a}$ かつ $\vec{c}$⊥$\vec{b}$

この方針で例題を解く。

解説

平面$\mathrm{ABC}$上にある平行でも$\vec{0}$でもない2つのベクトルと、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$が垂直、つまり内積が$0$であればよい。

平面と垂直なベクトル 解説図

平面$\mathrm{ABC}$上にある2つのベクトルを
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ $\vec{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ にすると、
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}$$=(0,b,0)-(1,0,0)$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}$$=(-1,b,0)$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{C}}$$=(0,0,c)-(1,0,0)$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{C}}$$=(-1,0,c)$
とかける。

この2つのベクトルと$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$が垂直なので、
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=0$
$(-1,b,0)\cdot(4,2,1)=0$
$-4+2b=0$
$b=2$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{C}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=0$
$(-1,0,c)\cdot(4,2,1)=0$
$-4+c=0$
$c=4$
である。

解答$b=2$,$c=4$