４点$\mathrm{A}(1,0,0)$，$\mathrm{B}(0,b,0)$，$\mathrm{C}(0,0,c)$，$\mathrm{D}(4,2,1)$がある。
平面$\mathrm{ABC}$と、ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$が垂直であるとき、$b$，$c$の値を求めなさい。

平面$\mathrm{ABC}$上にある平行でも$\overrightarrow{0}$でもない２つのベクトルと、$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$が垂直、つまり内積が$0$であればよい。

平面$\mathrm{ABC}$上にある２つのベクトルを
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ にすると、
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$=(0,b,0)-(1,0,0)$
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$=(-1,b,0)$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$=(0,0,c)-(1,0,0)$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$=(-1,0,c)$
とかける。

この２つのベクトルと$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$が垂直なので、
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0$
$(-1,b,0)\cdot (4,2,1)=0$
$-4+2b=0$
$b=2$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0$
$(-1,0,c)\cdot (4,2,1)=0$
$-4+c=0$
$c=4$
である。

解答$b=2$，$c=4$