数学Ｃ：ベクトル平面と垂直なベクトル

例題

４点$\mathrm{A}(1,0,0)$，$\mathrm{B}(0,b,0)$，$\mathrm{C}(0,0,c)$，$\mathrm{D}(4,2,1)$がある。
平面$\mathrm{ABC}$と、ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$が垂直であるとき、$b$，$c$の値を求めなさい。

アドバイス

まず、ベクトルと平面が垂直である条件の復習をしておこう。

復習

図の固定

ベクトルと平面が垂直であるためには、ベクトルが、平面上にある平行でない２つのベクトルと垂直であればよい。
つまり、
平面$\alpha$上にあるベクトルを$\vec{a}$，$\vec{b}$とする。
（$\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$，$\vec{a}\nparallel\vec{b}$）
このとき、
$\vec{c}$が平面$\alpha$と垂直 $\Leftrightarrow\ \vec{c}$⊥$\vec{a}$ かつ $\vec{c}$⊥$\vec{b}$

この方針で例題を解く。

解説

平面$\mathrm{ABC}$上にある平行でも$\vec{0}$でもない２つのベクトルと、$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$が垂直、つまり内積が$0$であればよい。

図の固定

平面$\mathrm{ABC}$上にある２つのベクトルを
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ にすると、
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$=(0,b,0)-(1,0,0)$
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$=(-1,b,0)$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$=(0,0,c)-(1,0,0)$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$=(-1,0,c)$
とかける。

この２つのベクトルと$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$が垂直なので、
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OD}}=0$
$(-1,b,0)\cdot(4,2,1)=0$
$-4+2b=0$
$b=2$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OD}}=0$
$(-1,0,c)\cdot(4,2,1)=0$
$-4+c=0$
$c=4$
である。

解答$b=2$，$c=4$