数学Ｂ ： ベクトル 平面と垂直なベクトル
例題
４点$\mathrm{A}(1,0,0)$，$\mathrm{B}(0,b,0)$，$\mathrm{C}(0,0,c)$，$\mathrm{D}(4,2,1)$がある。
平面$\mathrm{ABC}$と、ベクトル$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$が垂直であるとき、$b$，$c$の値を求めなさい。
アドバイス
まず、ベクトルと平面が垂直である条件の復習をしておこう。
復習
ベクトルと平面が垂直であるためには、ベクトルが、平面上にある平行でない２つのベクトルと垂直であればよい。
つまり、
平面$\alpha$上にあるベクトルを$\vec{a}$，$\vec{b}$とする。
（$\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$，$\vec{a}\nparallel\vec{b}$）
このとき、
$\vec{c}$が平面$\alpha$と垂直 $\Leftrightarrow\ \vec{c}$⊥$\vec{a}$ かつ $\vec{c}$⊥$\vec{b}$
この方針で例題を解く。
解説
平面$\mathrm{ABC}$上にある平行でも$\vec{0}$でもない２つのベクトルと、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$が垂直、つまり内積が$0$であればよい。
平面$\mathrm{ABC}$上にある２つのベクトルを
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{C}}$
にすると、
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}$$=(0,b,0)-(1,0,0)$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}$$=(-1,b,0)$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{C}}$$=(0,0,c)-(1,0,0)$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{C}}$$=(-1,0,c)$
とかける。
この２つのベクトルと$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$が垂直なので、
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=0$
$(-1,b,0)\cdot(4,2,1)=0$
$-4+2b=0$
$b=2$
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{C}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=0$
$(-1,0,c)\cdot(4,2,1)=0$
$-4+c=0$
$c=4$
である。
解答$b=2$，$c=4$