まず、２次関数の頂点の$x$座標の復習から。

復習

２次関数
$y=ax^{2}+bx+c$
の頂点の$x$座標は
$\dfrac{-b}{2a}$

復習より、
$y=2x^{2}-8x+5$式Ａ
の頂点の$x$座標は
$\dfrac{-(-8)}{2\cdot 2}=2$
だ。

別解

式Ａを平方完成すると、

途中式

$$ \begin{align} y&=2(x^{2}-4x)+5\\ &=2(x^{2}-4x+4-4)+5\\ &=2(x-2)^{2}-2\cdot 4+5 \end{align} $$ より

$y=2(x-2)^{2}-3$
となる。

よって、式Ａのグラフの頂点の座標は
$(2,\ -3)$
である。

また、式Ａの２次の項の係数は正なので、グラフは下に凸の放物線になる。

よって、この関数のグラフを描くと図Ａができる。

図Ａより、

(i)

条件１を見ると、$y=f(x)$は、
定義域の端ではない $x=-1$ で最大値 $3$
定義域の端の $x=-3$ で最小値 $-5$

をとっている。

このことから、$y=f(x)$のグラフは
頂点が$(-1,3)$
上に凸
$(-3,-5)$を通る

ような放物線であることが分かる。

解答カ：３

よって、$y=f(x)$は、$a$を負の実数として
$y=a(x+1)^{2}+3$式Ｂ
とかける。

このグラフが$(-3,-5)$を通るので、式Ｂに$(-3,-5)$を代入して、
$a(-3+1)^{2}+3=-5$

これを解いて、
$4a=-8$
$a=-2$

これを式Ｂに代入すると、$f(x)$の式は
$$ \begin{align} f(x)&=-2(x+1)^{2}+3\\ &=-2(x^{2}+2x+1)+3\\ &=-2x^{2}-4x+1 \end{align} $$ となる。

解答キ：－, ク：２, ケ：４, コ：１

(ii)

条件２の各行を
$0 \lt a \lt 3$ ならば，$m \gt -2$ である。
条件２a
$a\geqq 3$ ならば、$m=-2$ である。
条件２b
$0 \lt a\leqq 6$ ならば、$M=7$ である。
条件２c
$a \gt 6$ ならば、$M \gt 7$ である。
条件２d

と呼ぶ。

以上をもとに$g(x)$の式を考える。

式Ｄより、$a$を正の実数として、$g(x)$の式は
$g(x)=a(x-3)^{2}-2$式Ｆ
とかける。

式Ｆに式Ｅを代入すると、
$a(0-3)^{2}-2=7$
$9a=9$
$a=1$

これを式Ｆに代入して、
$$ \begin{align} g(x)&=(x-3)^{2}-2\\ &=x^{2}-6x+7 \end{align} $$ である。

解答シ：６

条件３は、$x$の定義域の
幅が$2$
中央が$b$

の場合だ。

$b$の値が変わると、$x$の定義域は 幅が$2$のまま左右に動くことになる。

条件３より、$x$の定義域によって最大値$M$が$0$以上になったり未満になったりしているので、
$y=h(x)$ のグラフは $x$ 軸と異なる２点で交わる と考えられる。

よって、$y=h(x)$ と $x$軸との共有点の座標を
$(\alpha,\ 0)$，$(\beta,\ 0)$
とすると、$y=h(x)$ のグラフは図Ｃ，図Ｄのどちらかの形である。

図Ｃ，図Ｄともに、グラフの赤い部分が
定義域に含まれるとき $M\geqq 0$
定義域に含まれないとき $M \lt 0$

となる。

なので、$y=h(x)$ のグラフが
図Ｃになるのなら、$M \lt 0$ である範囲の両側に $M\geqq 0$ である範囲がある
図Ｄになるのなら、$M\geqq 0$ である範囲の両側に $M \lt 0$ である範囲がある

はずだ。

ここで条件３を見ると、
$M\geqq 0$ である範囲の両側に $M \lt 0$ である範囲がある から、$y=h(x)$ のグラフは図Ｄが正しい。

したがって、図Ｄ中の $\alpha$，$\beta$ が求めるスセだ。

というわけで、条件３と図Ｄを比較して、$\alpha$，$\beta$ を求めよう。

図Ｄのグラフで $b-1\leqq x\leqq b+1$ にグラフの赤い範囲が含まれる場合、