集合$A$，$B$の定義がちょっとイメージしにくいかも知れない。
なので、まず集合の定義から考えよう。

例えば、$a$が
$ a=\alpha^{n}\beta^{m}\cdots$
と素因数分解できる場合、

$\alpha$の倍数は $a$との間に正の公約数$\alpha$をもつから、
$A$の要素である
$\beta$の倍数は $a$との間に正の公約数$\beta$をもつから、
$A$の要素である
$\hspace{70px}\vdots$

ことになる。

なので、このとき、集合$A$は
$ A=\{\alpha$の倍数 または $\beta$の倍数 $\cdots\}$
と考えられる。

$b$と集合$B$についても同じことがいえる。

これを頭に入れて、問題を解こう。

表Ａと表Ｂをあわせると表Ｃができる。

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$A$		○			○			○			○			○			○
$B$	○		○		○		○		○		○		○		○		○		○

表Ｃより、

であることが分かる。

(i)

$\overline{A}$に$2$の倍数も$3$の倍数も含まれない
$\hspace{50px}\Updownarrow$
$A$に$2$の倍数と$3$の倍数がすべて含まれる
だから、
$A=\{2$の倍数 または $3$の倍数 $\cdots\}$
である。

よって、(1)の最初に説明した考え方から、$a$を素因数分解すると
$a=2^{n}3^{m}\cdots$ となるので、
$a$は$6$の倍数 だ。

$6$の倍数のうち、$2$以上$9$以下であるのは
$6$
のひとつしかない。

解答オ：６

(ii)

$A\cap\overline{B}=\{5\}$
なので、$5$は集合$A$の要素である。

よって、(1)の最初に説明した考え方から、$a$を素因数分解すると
$ a=5^{n}\cdots$ となるので、
$a$は$5$の倍数 だ。

$5$の倍数のうち、$2$以上$9$以下であるのは
$5$
のひとつしかない。

解答カ：５

このとき、集合$A$は

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$A$				○					○					○					○

となっている。

また、
$A\cap\overline{B}=\{5\}$
なので、$A$の要素のうち
$5$は$B$の要素じゃない
$10$，$15$，$20$ は$B$の要素である

ことが分かる。

$5$は$B$の要素じゃないから、$5$は$b$の素因数じゃない

$10$，$15$，$20$ を素因数分解すると
$\left\{\begin{array}{l} 10=5\cdot 2\\ 15=5\cdot 3\\ 20=5\cdot 2^{2} \end{array}\right.$
となるけど、さっき考えたように $5$は$b$の素因数じゃない。
なので、$10$，$15$，$20$ が$B$に含まれるためには
$ b=2^{n}3^{m}\cdots$
でなければならない。

以上より、
$b=6$
であることが分かる。

解答キ：６