Ａ，Ｂ，Ｃの３人でリーグ戦を行う場合を考える。

(i)

Ａが勝つ確率は$\dfrac{2}{3}$なので、Ａが２勝０敗で優勝する確率は

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}$
である。

解答ア：４, イ：９

(ii)

問題文中の表２の対戦結果になるのは
ＡがＢに勝つ
ＢがＣに勝つ
ＣがＡに勝つ（ＡがＣに負ける）

のすべてが起こる場合だ。

それぞれの場合の確率は、
ＡがＢに勝つのは $\dfrac{2}{3}$
ＢがＣに勝つのは $\dfrac{1}{2}$
ＡがＣに負けるのは $1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$

なので、すべてが起こる確率は
$\dfrac{\AKA{\cancel{\KURO{2}}}}{3}\times\dfrac{1}{\AKA{\cancel{\KURO{2}}}}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$式Ａ
である。

解答ウ：１, エ：９

また、$n=$ ３人で抽選をしてＡが選ばれる確率は
$\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{3}$式Ｂ
だった。

よって、表２の対戦結果の後 抽選でＡが優勝する確率は
$\text{式Ａ}\times \text{式Ｂ}=\dfrac{1}{9}\times\dfrac{1}{3}$式Ｃ
となる。

解答オ：１, カ：３

図の固定

３人すべてが１勝１敗である場合は、図Ａの２パターンあって、同じ確率で起こる。

なので、Ａが１勝１敗で優勝する確率は、式Ｃを$2$倍した
$\dfrac{1}{9}\times\dfrac{1}{3}\times 2=\dfrac{2}{27}$
である。

解答キ：２, ク：２, ケ：７

さらに、Ａが２敗すると優勝することはないから、Ａが優勝するパターンは上の２つしかない。

以上より、Ａが優勝する確率は、アイとキクケをたした
$$ \begin{align} \dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{27}&=\dfrac{12+2}{27}\\ &=\dfrac{14}{27}\TF{式Ｄ} \end{align} $$ であることが分かる。

次は、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人でリーグ戦を行う場合だ。

(i)

全敗する人がいて、Ａが２勝１敗で優勝するときの確率を求めよう。

まず、Ｄが全敗する場合を考える。

ＤがＡに負ける確率は$\dfrac{2}{3}$
ＤがＢ，Ｃに負ける確率はともに$\dfrac{1}{2}$

なので、Ｄが全敗する確率は
$\dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{6}$式Ｅ
だ。

解答コ：１, サ：６

この段階での対戦結果は 表Ｂ（問題文中の表３と同じ）のような状態だ。

表Ｂの時点では、Ａ，Ｂ，Ｃ は全員１勝０敗だ。
なので、この後の対戦でＡが１勝１敗して優勝すれば、Ｄとの対戦結果を含めると２勝１敗で優勝することになる。

そのためには、表Ｂの緑の部分は
Ｂ，Ｃは２勝しない
（２勝するとＡが優勝できない）
Ｂ，Ｃは２敗しない
（２敗すると他の誰かが２勝してしまう）

ような対戦結果でなければならない。
つまり、３人とも１勝１敗しなければならない。

３人が１勝１敗し、その後の抽選でＡが優勝する確率は、キクケで考えた
$\dfrac{2}{27}$式Ｆ
だった。

よって、Ｄが全敗し、Ａが２勝１敗で優勝する確率は
$$ \begin{align} \text{式Ｅ}\times \text{式Ｆ}&=\dfrac{1}{\AKA{\cancelto{3}{\KURO{6}}}}\times\dfrac{\AKA{\cancel{\KURO{2}}}}{27}\\ &=\dfrac{1}{3\cdot 27}\TF{式Ｇ} \end{align} $$ である。

以上、Ｄが全敗する場合を考えた。
しかし、全敗するのはＢやＣでもいいから、全敗する人の選び方は３通りある。
だれが全敗する場合でも 式Ｇの確率は変わらない。

したがって、全敗する人がいて、Ａが２勝１敗で優勝する確率は
$$ \begin{align} \text{式Ｇ}\times 3&=\dfrac{1}{\AKA{\cancel{\KURO{3}}}\cdot 27}\times\AKA{\cancel{\KURO{3}}}\\ &=\dfrac{1}{27} \end{align} $$ となる。

解答シ：１, ス：２, セ：７

(ii)

今度は、全敗する人がいなくて Ａが２勝１敗で優勝するときの確率だ。

まず、問題文のように、ＡがＢに負けＣ，Ｄに勝つ場合、つまり 表Ｃ（問題文中の表４と同じ）のような場合を考える。

この後の対戦（表Ｃの緑の部分）は、
Ｃ，Ｄは２敗しないルールＡ
（全敗の人ができてはいけない）
Ｂは２勝しないルールＢ
（Ｂが優勝してはいけない）

でなければならない。

この先を、Ｂが
１勝１敗するときパターンＡ
２敗するときパターンＢ

の２つに場合分けして考える。

以上より、ＡがＢに負けて２勝１敗で優勝す対戦結果は
$$ \begin{align} \text{式Ｈ}+\text{式Ｉ}&=2+2\\ &=4\TF{式Ｊ} \end{align} $$ 通りで、4通りとも ２勝１敗はＡを含め２人いる。

解答ソ：４

以上、ＡがＢに負ける場合を考えた。
しかし、Ａが負けるのはＣやＤでもいいから、負ける相手の選び方は３通りある。

Ａがだれが負ける場合でも、対戦結果が式Ｊの４通りあるのは変わらない。

したがって、全敗する人がおらず、Ａが２勝１敗で優勝する対戦結果は全部で

$$ \begin{align} \text{式Ｊ}\times 3&=4\times 3\\ &=12\TF{式Ｎ} \end{align} $$ 通りある。

この12通りのうちのひとつが、表Ｇ（問題文中の表１と同じ）だ。

この表の確率を考えると、
青い部分の確率は$\dfrac{1}{3}$
オレンジの部分の確率はそれぞれ$\dfrac{2}{3}$
黄色い部分の確率はそれぞれ$\dfrac{1}{2}$
抽選でＡが選ばれる確率は$\dfrac{1}{2}$

なので、表Ｅの対戦結果でＡが優勝する確率は
$$ \begin{align} \dfrac{1}{3}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}\times&\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\times\dfrac{1}{2}\\ &=\dfrac{\AKA{\cancel{\KURO{2^{2}}}}}{3\times 3^{2}\times 2^{\AKA{\cancel{\KURO{3}}}}\times 2}\\ &=\dfrac{1}{3\times 3^{2}\times 2^{2}}\TF{式Ｏ} \end{align} $$ である。

さらに、式Ｎの12通りは全部
Ａが1回負ける
Ａが2回勝つ
Ｂ，Ｃ，Ｄが合計3回勝つ
2人の抽選でＡが選ばれる

場合だから、確率は式Ｏと等しい。

したがって、全敗する人がおらず、Ａが２勝１敗で優勝する確率は、
$$ \begin{align} \text{式Ｎ}\times \text{式Ｏ}&=\AKA{\cancel{\KURO{12}}}\times\dfrac{1}{\AKA{\cancel{\KURO{3}}}\times 3^{2}\times\AKA{\cancel{\KURO{2^{2}}}}}\\ &=\dfrac{1}{9} \end{align} $$ となる。

解答タ：１, チ：９

長かったけど、ヤマは越えた。
ここまで来ると勝ったも同然だ。

これまでに考えたように、Ａが２勝１敗で優勝する確率は
全敗する人がいる場合、
$\fbox{シ}\ \fbox{スセ}\ $の$\dfrac{1}{27}$式Ｐ
全敗する人がいない場合、
$\fbox{タ}\ \fbox{チ}\ $の$\dfrac{1}{9}$式Ｑ

だった。

また、Ａが３勝０敗で優勝する確率は
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}$式Ｒ
である。

これ以外に、Ａが優勝するパターンはない。

以上より、Ａが優勝する確率は、
$$ \begin{align} \text{式Ｐ}+\text{式Ｑ}+\text{式Ｒ}&=\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{9}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\\ &=\dfrac{1+3+2^{3}}{27}\\ &=\dfrac{12}{27}\TF{式Ｓ}\\ &=\dfrac{4}{9} \end{align} $$ となる。

解答ツ：４, テ：９

(1)で考えたように、３人のリーグでＡが優勝する確率は、式Ｄの
$\dfrac{14}{27}$式Ｄ
だった。

式Ｓを式Ｄと比べると
$\dfrac{12}{27}-\dfrac{14}{27}=-\dfrac{2}{27}$
だから、４人のリーグでＡが優勝する確率は、３人のリーグでＡが優勝する確率よりも

$\dfrac{2}{27}$だけ小さい ことが分かる。

解答ト：２, ナ：２, ニ：７, ヌ：０