問題文のとおりに作図すると、図Ａができる。

図Ａの図形についての問題を解くんだけど、空間で考えるのは大変だ。
必要な部分の平面をとりだして考えよう。

まずは 底面から。
図Ａから$\triangle \mathrm{ABC}$を取り出して ぱっと分かることを書き込むと、図Ｂのようになる。

最初に図Ｂの説明をしておく。

点$\mathrm{I}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の内心なので、
直線$\mathrm{AI}$は$\angle \mathrm{BAC}$の
直線$\mathrm{BI}$は$\angle \mathrm{ABC}$の
直線$\mathrm{CI}$は$\angle \mathrm{ACB}$の

それぞれ二等分線である。

解答ア：２

また、$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形だ。
二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺の垂直二等分線なので、
$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{AD}\perp \mathrm{BC}\\ \begin{aligned} \mathrm{BD}&=\dfrac{1}{2}\mathrm{BC}\\ &=6 \end{aligned} \end{array}\right.$
となる。

よって、直線$\mathrm{AD}$は、$\triangle \mathrm{IBC}$（図Ｂの黄色い三角形）において頂点$\mathrm{I}$から対辺の中点に引いた中線と一致する。
つまり、$\triangle \mathrm{IBC}$の重心$\mathrm{G}$は直線$\mathrm{AD}$上にある。

さらに、$\triangle \mathrm{ABD}$（図Ｂの赤い三角形）は
$\left\{\begin{array}{l} \angle \mathrm{ADB}=90^{\circ}\\ \begin{aligned} \mathrm{AB}:\mathrm{BD}&=10:6\\ &=5:3 \end{aligned} \end{array}\right.$
より、辺の比が$3:4:5$の直角三角形だから
$\mathrm{AD}=8$式Ａ
である。

以上を頭に入れて、問題を解く。

直線$\mathrm{BI}$は$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線だから、図Ｂの赤い図形で角の二等分線の性質を考えると
$$ \begin{align} \mathrm{AI}:\mathrm{ID}&=\mathrm{AB}:\mathrm{BD}\\ &=5:3 \end{align} $$ である。

よって、
$\mathrm{AI}=\dfrac{5}{5+3}\times \mathrm{AD}$
とかけるけど、これに式Ａを代入すると、
$\mathrm{AI}=5$
となる。

解答イ：５

これを式Ａから引くと、$\mathrm{ID}$は
$$ \begin{align} \mathrm{ID}&=\mathrm{AD}-\mathrm{AI}\\ &=8-5\\ &=3 \end{align} $$ である。

解答ウ：３

次は、３点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{D}$ を通る平面（図Ａのグレーの平面）を考える。
図Ａからグレーの平面を取り出すと、図Ｃのようになっている。

問題文にあるように
$\angle \mathrm{PED}=\angle \mathrm{PID}$（図Ｃの赤い角は等しい）
なので、円周角の定理の逆より
４点$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{P}$（図Ｃの緑の点）は同一円周（青い円周）上にある ことになる。

解答エ：４

このことから、図Ｃの紫の線分に方べきの定理を使うと
$\mathrm{AE}\cdot \mathrm{AP}=\mathrm{AI}\cdot \mathrm{AD}$
と表せる。

これにそれぞれの値を代入すると、
$$ \begin{align} \mathrm{AE}\cdot \mathrm{AP}&=8\cdot 5\TF{式Ｂ}\\ &=40 \end{align} $$ であることが分かる。

解答オ：４, カ：０

次は、三角錐$\mathrm{PABC}$の体積だ。

(i)

図Ｄで、$\mathrm{IF}:\mathrm{FP}=3:2$ のとき、$\triangle \mathrm{API}$（緑の三角形）と直線$\mathrm{DE}$（紫の直線）にメネラウスの定理を使うと、
$\dfrac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EA}}\cdot\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DI}}\cdot\dfrac{\mathrm{IF}}{\mathrm{FP}}=1$
とかける。

これにそれぞれの値を代入すると

途中式

$\dfrac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EA}}\cdot\dfrac{\AKA{\cancelto{4}{\KURO{8}}}}{\SORA{\cancel{\KURO{3}}}}\cdot\dfrac{\SORA{\cancel{\KURO{3}}}}{\AKA{\cancel{\KURO{2}}}}=1$
$\dfrac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EA}}\cdot 4=1$
$\dfrac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EA}}=\dfrac{1}{4}$
なので

$\mathrm{PE}:\mathrm{EA}=1:4$
である。

解答キ：１, ク：４

したがって、
$$ \begin{align} \mathrm{AE}&=\dfrac{4}{1+4}\mathrm{AP}\\ &=\dfrac{4}{5}\mathrm{AP} \end{align} $$ とかける。

これを式Ｂに代入すると

途中式

$\dfrac{\AKA{\cancel{\KURO{4}}}}{5}\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AP}=\AKA{\cancelto{2}{\KURO{8}}}\cdot 5$
$\mathrm{AP}^{2}=5^{2}\cdot 2$
$\mathrm{AP} \gt 0$ なので

$\mathrm{AP}=5\sqrt{2}$
となる。

解答ケ：５, コ：２

また、点$\mathrm{G}$は$\triangle \mathrm{IBC}$の重心なので、
$\mathrm{IG}:\mathrm{DG}=2:1$
より
$\mathrm{AG}=\mathrm{AI}+\dfrac{2}{3}\mathrm{ID}$
だ。

これにそれぞれの値を代入すると
$$ \begin{align} \mathrm{AG}&=5+\dfrac{2}{3}\cdot 3\\ &=7 \end{align} $$ である。

さらに、問題文の最初にあったように
$\mathrm{PG}\perp \text{平面}\mathrm{ABC}$
だった。

ここまでで分かったことを図にすると、図Ｅができる。

図Ｅより、三角錐$\mathrm{PABC}$の

だ。

したがって、体積$V_{1}$は
$$ \begin{align} V_{1}&=\dfrac{1}{3}\times \text{底面積}\times \text{高さ}\\ &=\dfrac{1}{\AKA{\cancel{\KURO{3}}}}\cdot\AKA{\cancelto{2}{\KURO{6}}}\cdot 8\cdot 1\\ &=16 \end{align} $$ となる。

解答サ：１, シ：６

(ii)

最後は、$\mathrm{IF}:\mathrm{FP}=1:3$ のときの三角錐$\mathrm{PABC}$の体積$V_{2}$だ。

(i)と同様に、$\triangle \mathrm{API}$（図Ｆの緑の三角形）と直線$\mathrm{DE}$（紫の直線）にメネラウスの定理を使うと、
$\dfrac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EA}}\cdot\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DI}}\cdot\dfrac{\mathrm{IF}}{\mathrm{FP}}=1$
とかける。

これにそれぞれの値を代入すると、

途中式

$\dfrac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EA}}\cdot\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=1$
$\dfrac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EA}}\cdot\dfrac{8}{9}=1$
$\dfrac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EA}}=\dfrac{9}{8}$
なので

$\mathrm{PE}:\mathrm{EA}=9:8$
である。

したがって、
$$ \begin{align} \mathrm{AE}&=\dfrac{8}{9+8}\mathrm{AP}\\ &=\dfrac{8}{17}\mathrm{AP} \end{align} $$ とかける。

これを式Ｂに代入すると

途中式

$\dfrac{\AKA{\cancel{\KURO{8}}}}{17}\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AP}=\AKA{\cancel{\KURO{8}}}\cdot 5$
$$ \begin{align} \mathrm{AP}^{2}&=5\cdot 17\\ &=85 \end{align} $$ $\mathrm{AP} \gt 0$ なので、

$\mathrm{AP}=\sqrt{85}$
だ。

以上をもとに、図Ｆの赤い三角形に三平方の定理を使って 三角錐の高さ$\mathrm{PG}$を求めると

途中式

$$ \begin{align} \mathrm{PG}^{2}&=\mathrm{PA}^{2}-\mathrm{AG}^{2}\\ &=\sqrt{85}^{2}-7^{2}\\ &=85-49\\ &=36 \end{align} $$ なので

$\mathrm{PG}=6$
である。

したがって、(i)の三角錐と(ii)の三角錐を比べると、
底面積は変わらない
高さは、(ii)は(i)の$6$倍

になっていることが分かる。

よって、体積は
$V_{2}:V_{1}=6:1$

解答ス：６, セ：１

になるから、$V_{2}$の方が大きい。

解答ソ：２