数学Ⅰ ： データの分析 分散と標準偏差の計算
はじめに
| 出席番号 | 得点$a_{n}$ |
| 1 | $a_{1}$：3点 |
| 2 | $a_{2}$：5点 |
| 3 | $a_{3}$：6点 |
| 4 | $a_{4}$：3点 |
| 5 | $a_{5}$：2点 |
| 6 | $a_{6}$：7点 |
| 7 | $a_{7}$：5点 |
| 8 | $a_{8}$：9点 |
| 9 | $a_{9}$：6点 |
| 10 | $a_{10}$：４点 |
| 合計 | 50 |
| 平均値 | $\overline{a}$：5.0点 |
表Ａのデータを用いて、分散と標準偏差を計算してみよう。
まず、分散$s^{2}$の公式、
公式
$$ \begin{align} s^{2}&=\frac{1}{n}\left\{\begin{aligned}(x_{1}-&\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\\&\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}\end{aligned}\right\}\class{tex_formula}{式Ａ}\\ &=\overline{x^{2}}-(\overline{x})^{2}\class{tex_formula}{式Ｂ} \end{align} $$
を思いだそう。
式Ａと式Ｂ、問題によって計算が楽な方を使うのだけれど、このページでは両方の式で計算してみる。
式Ａ：定義通り計算する
式Ａのように、定義通り計算する。
アドバイス
とは言うものの、式Ａの形通りに計算するのは、ミスを招きやすいのでおすすめではない。
おすすめは、問題文中の表に書き込むこと。
表Ａであれば、右側に列を付けたして、表Ｂのようなのをつくる。
| 出席番号 | 得点 $a_{n}$ |
偏差 $a_{n}-\overline{a}$ |
偏差2 $(a_{n}-\overline{a})^{2}$ |
| 1 | 3 | ||
| 2 | 5 | ||
| 3 | 6 | ||
| 4 | 3 | ||
| 5 | 2 | ||
| 6 | 7 | ||
| 7 | 5 | ||
| 8 | 9 | ||
| 9 | 6 | ||
| 10 | 4 | ||
| 合計 | 50 | ||
| 平均値 | 5.0 |
で、マスをうめてゆくわけだ。
まず、偏差の列（表Ｂの青いマス）を埋める。
それぞれの得点から平均値を引いたものを書き込んでゆく。
| 出席番号 | 得点 $a_{n}$ |
偏差 $a_{n}-\overline{a}$ |
偏差2 $(a_{n}-\overline{a})^{2}$ |
| 1 | 3 | -2 | |
| 2 | 5 | 0 | |
| 3 | 6 | 1 | |
| 4 | 3 | -2 | |
| 5 | 2 | -3 | |
| 6 | 7 | 2 | |
| 7 | 5 | 0 | |
| 8 | 9 | 4 | |
| 9 | 6 | 1 | |
| 10 | 4 | -1 | |
| 合計 | 50 | 0 | |
| 平均値 | 5.0 |
表Ｃは、偏差の計算が終わったところ。
偏差の列の合計（表Ｃの青いマス）が$0$にならなければ、どこかで計算を間違えている。
次に、今計算した偏差を２乗して、偏差2（表Ｃの緑のマス）に書き込んでゆく。
| 出席番号 | 得点 $a_{n}$ |
偏差 $a_{n}-\overline{a}$ |
偏差2 $(a_{n}-\overline{a})^{2}$ |
| 1 | 3 | -2 | 4 |
| 2 | 5 | 0 | 0 |
| 3 | 6 | 1 | 1 |
| 4 | 3 | -2 | 4 |
| 5 | 2 | -3 | 9 |
| 6 | 7 | 2 | 4 |
| 7 | 5 | 0 | 0 |
| 8 | 9 | 4 | 16 |
| 9 | 6 | 1 | 1 |
| 10 | 4 | -1 | 1 |
| 合計 | 50 | 0 | 40 |
| 平均値 | 5.0 | 4 |
表Ｄは、偏差2の計算が終わったところ。
偏差2の列の合計が偏差の２乗和（表Ｄのオレンジのマス）、平均値が分散（表Ｄのピンクのマス）である。
式Ｂ：得点2から計算する
こちらの計算方法を使っても、やっぱり表をかくのがおすすめ。
式Ａのときと同じように、表Ａの右側に列を付けたして、表Ｅをつくる。
| 出席番号 | 得点 $a_{n}$ |
得点2 $a_{n}^{2}$ |
| 1 | 3 | |
| 2 | 5 | |
| 3 | 6 | |
| 4 | 3 | |
| 5 | 2 | |
| 6 | 7 | |
| 7 | 5 | |
| 8 | 9 | |
| 9 | 6 | |
| 10 | 4 | |
| 合計 | 50 | |
| 平均値 | 5.0 |
得点2の列（表Ｅの青いマス）をうめたのが、表Ｆである。
計算すると分かるけど、意外に計算が面倒。なので、センター試験などでもとのデータ（今回の例では得点）が分かる時には、式Ａの定義通りの計算の方が楽なことが多い。
| 出席番号 | 得点 $a_{n}$ |
得点2 $a_{n}^{2}$ |
| 1 | 3 | 9 |
| 2 | 5 | 25 |
| 3 | 6 | 36 |
| 4 | 3 | 9 |
| 5 | 2 | 4 |
| 6 | 7 | 49 |
| 7 | 5 | 25 |
| 8 | 9 | 81 |
| 9 | 6 | 36 |
| 10 | 4 | 16 |
| 合計 | 50 | 290 |
| 平均値 | 5.0 | 29 |
表Ｆ中、得点2の平均（表Ｆのピンクのマス）が、式Ｂの$\overline{x^{2}}$にあたる。
なので、式Ｂは
$$
\begin{align}
s^{2}&=29-5^{2}\\
&=4
\end{align}
$$
である。
標準偏差
標準偏差は、分散の正の平方根。
公式
$s=\sqrt{s^{2}}$
なので、
$$
\begin{align}
s&=\sqrt{4}\\
&=2
\end{align}
$$
である。