Ａ君，Ｂ君，Ｃ君，Ｄ君４人の小テストの成績を棒グラフにした、図Ａのようなデータを考えてみよう。
赤い点線が平均値で、緑の矢印の長さがそれぞれの偏差を表している。偏差の2乗の平均が分散で、分散の正の平方根が標準偏差だから、緑の矢印の長さで分散や標準偏差が決まる。

データに定数を加えたとき

図Ａのデータのそれぞれに５点たすと、図Ｂのグラフになる。

図Ａと図Ｂを見比べると、図Ｂは図Ａのグラフを右に$5$平行移動したものだ。

赤い線も右に$5$平行移動するので、平均値は$5$増える。
緑の矢印の長さは変わらないので、分散と標準偏差は変わらない。

今度は図Ａのデータのそれぞれに20点たしてみる。すると、グラフは図Ｃになる。

図Ａと図Ｃを見比べると、図Ｃは図Ａのグラフを右に$20$平行移動したものだ。

赤い線も右に$20$平行移動するので、平均値は$20$増える。
緑の矢印の長さは変わらないので、分散と標準偏差は変わらない。

このことから、もとのデータのすべてに$+b$した場合、
平均値は、もとの平均値$+b$になる。 分散，標準偏差は変わらない。 ことが分かる。

データを定数倍したとき

図Ａのデータのそれぞれを$1.5$倍すると、図Ｄのグラフになる。上のグラフが図Ａ、下のグラフは図Ａを$1,5$倍したものだ。

ふたつのグラフを見比べると、赤い線も$1.5$倍の位置に移動し、緑の矢印の長さも$1.5$倍になっているのに気づく。

なので、
平均値は$1.5$倍になる。
分散は緑の矢印の２乗の平均だから、分散は$1.5^{2}$倍になる。
標準偏差分散の正の平方根なので、$\sqrt{1.5^{2}}=1.5$より、標準偏差は$1.5$倍になる。

標準偏差はデータの散らばりを表すので、散らばりが$1.5$倍になるから標準偏差も$1.5$倍、分散はその２乗なので$1.5^{2}$倍、と思ってもらってもいい。本当は分散が先に決まるので、順番が逆だけど、センター試験では問題ないです。

図Ａのデータのそれぞれを$3$倍すると、図Ｅのグラフになる。

ふたつのグラフを見比べると、赤い線も$3$倍の位置に移動し、緑の矢印の長さも$3$倍になっているのに気づく。

なので、
平均値は$3$倍になる。
分散は$3^{2}$倍になる。
標準偏差は$3$倍になる。

これも、標準偏差はデータの散らばりを表すので、散らばりが$3$倍になるから標準偏差も$3$倍、分散はその２乗なので$3^{2}$倍、と思ってもらってもいいです。

このことから、もとのデータのすべてを$a$倍した場合、 平均値は、もとの平均値の$a$倍になる。 分散は、もとの分散の$a^{2}$倍になる。 標準偏差は、もとの標準偏差の$|a|$倍になる。 ことが分かる。

データ$\{x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}\}$があり、
平均値を
    $\displaystyle \frac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{n})=\overline{x}$式Ａ
分散を
    $\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+(x_{3}-\overline{x})^{2}+$
            $\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}\}=s_{x}^{2}$式Ｂ
標準偏差を
    $\sqrt{s_{x}^{2}}=s_{x}$式Ｃ
とする。

データ$\{y_{1},y_{2},y_{3}.\cdots,y_{n}\}$を、定数$a$，$b$を用いて
$y_{1}=ax_{1}+b$
$y_{2}=ax_{2}+b$
$y_{3}=ax_{3}+b$
$\vdots$
$y_{n}=ax_{n}+b$
と決める。式D

分散・標準偏差

$y$の分散$s_{y}^{2}$は、
$s_{y}^{2}=\displaystyle \frac{1}{n}\{(y_{1}-\overline{y})^{2}+(y_{2}-\overline{y})^{2}+(y_{3}-\overline{y})^{2}+$
            $\cdots+(y_{n}-\overline{y})^{2}\}$

これに式D，Eを代入して、
$s_{y}^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{n}[\{(ax_{1}+b)-(a\overline{x}+b)\}^{2}$
          $+\{(ax_{2}+b)-(a\overline{x}+b)\}^{2}$
          $+\{(ax_{3}+b)-(a\overline{x}+b)\}^{2}$
          $+\cdots$
          $+\{(ax_{n}+b)-(a\overline{x}+b)\}^{2}]$
$s_{y}^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{n}\{(ax_{1}-a\overline{x})^{2}+(ax_{2}-a\overline{x})^{2}$
          $+(ax_{3}-a\overline{x})^{2}+\cdots+(ax_{n}-a\overline{x})^{2}\}$
$s_{y}^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{n}\{a^{2}(x_{1}-\overline{x})^{2}+a^{2}(x_{2}-\overline{x})^{2}$
          $+a^{2}(x_{3}-\overline{x})^{2}+\cdots+a^{2}(x_{n}-\overline{x})^{2}\}$
$s_{y}^{2}\displaystyle $$\displaystyle =a^{2}$$\frac{1}{n}\{(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}$
          $+(x_{3}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}\}$

式Ｂより、緑の部分は$s_{x}^{2}$なので、
$s_{y}^{2}$$=a^{2}s_{x}^{2}$
となる。

$y$の標準偏差$s_{y}$は、分散の正の平方根なので、
$s_{y}=\sqrt{a^{2}s_{x}^{2}}$
$s_{x}$は$x$の標準偏差だから、$0\leqq s_{x}$なので、
$s_{y}=\sqrt{a^{2}}s_{x}$
$a \lt 0$のとき、
$s_{y}=-as_{x}$
$0\leqq a$のとき、
$s_{y}=as_{x}$

あわせて、
$s_{y}=|a|s_{x}$
である。