大学入試センター試験 2015年(平成27年) 問題例 数学ⅡB 第○問 解説
(1)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
---|---|---|---|---|---|
1 | - | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 2 | - | 2 | 2 | 2 |
3 | 3 | 3 | - | 3 | 3 |
4 | 4 | 4 | 4 | - | 4 |
5 | 5 | 5 | 5 | 5 | - |
まず、確率を求めよう。
この手の問題は、真面目に計算をするより、表を書く方がお薦め。
右上の赤い部分は$S$、左下の青い部分は$T$の表である。
表Aより、
$$
\begin{align}
P(S=1)&=\dfrac{4}{10}\\
&=\dfrac{2}{5}
\end{align}
$$
解答ア:2, イ:5
$P(T=4)=\dfrac{3}{10}$
解答ウ:3, エ:1, オ:0
である。
表Aをもとに確率分布表を書く。
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 計 | |
---|---|---|---|---|---|---|
$P(S)$ | $\dfrac{4}{10}$ | $\dfrac{3}{10}$ | $\dfrac{2}{10}$ | $\dfrac{1}{10}$ | $0$ | $1$ |
$P(T)$ | $0$ | $\dfrac{1}{10}$ | $\dfrac{2}{10}$ | $\dfrac{3}{10}$ | $\dfrac{4}{10}$ | $1$ |
表Bより、
$$
\begin{align}
E(S)&=1\cdot\dfrac{4}{10}+2\cdot\dfrac{3}{10}+3\cdot\dfrac{2}{10}+4\cdot\dfrac{1}{10}\\
&=\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}\\
&=\dfrac{10}{5}\\
&=2\class{tex_formula}{式A}
\end{align}
$$
解答カ:2
同じく表Bより、
$$
\begin{align}
E(T)&=2\cdot\dfrac{1}{10}+3\cdot\dfrac{2}{10}+4\cdot\dfrac{3}{10}+5\cdot\dfrac{4}{10}\\
&=\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}+\dfrac{10}{5}\\
&=\dfrac{20}{5}\\
&=4\class{tex_formula}{式B}
\end{align}
$$
解答キ:4
復習
確率変数$A$があって、$A$の平均値を$E(A)$,分散を$V(A)$,標準偏差を$S(A)$とする。
$B=aA+b$ ただし、$a$,$b$は定数
とするとき、$B$の平均$E(B)$,分散$V(B)$,標準偏差$S(B)$はそれぞれ
$E(B)=aE(A)+b$
$V(B)=a^{2}V(A)$
$S(B)=|a|S(A)$
となる。
なので、
$\left\{\begin{array}{l}
E(aS-1)=5\\
E(bT-1)=5
\end{array}\right.$
は、
$\left\{\begin{array}{l}
aE(S)-1=5\\
bE(T)-1=5
\end{array}\right.$
と書き換えられる。
これに式A,式Bを代入して、
$\left\{\begin{array}{l}
2a-1=5\\
4b-1=5
\end{array}\right.$
より、
$2a-1=5$
$2a=6$
$a=3$
解答ク:3
$4b-1=5$
$4b=6$
$b=\dfrac{3}{2}$
解答ケ:3, コ:2
である。
(2)
(i)
まず、二項分布について復習しよう。
復習
表Cのような確率変数$R$があったとき、
$R$ | $0$ | $1$ | $\cdots$ | $n$ | 計 |
---|---|---|---|---|---|
確率 | ${}_{n}\mathrm{C}_{0}\cdot p^{0}\cdot(1-p)^{n}$ | ${}_{n}\mathrm{C}_{1}\cdot p^{1}\cdot(1-p)^{n-1}$ | $\cdots$ | ${}_{n}\mathrm{C}_{n}\cdot p^{n}\cdot(1-p)^{0}$ | $1$ |
$R$は二項分布に従う。
$R$の 平均(期待値)$E(R)=np$ 分散$V(R)=np(1-p)$ である。
復習から、確率変数$X$の平均$E(X)$,分散$V(X)$は、
$$
\begin{align}
E(X)&=np\\
&=100\cdot\dfrac{1}{5}\\
&=20\class{tex_formula}{式C}
\end{align}
$$
解答サ:2, シ:0
$$
\begin{align}
V(X)&=np(1-p)\\
&=100\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{4}{5}\\
&=16\class{tex_formula}{式D}
\end{align}
$$
である。
標準偏差$S(X)$は分散の正の平方根なので、
$$
\begin{align}
S(X)&=\sqrt{V(X)}\\
&=\sqrt{16}\\
&=4
\end{align}
$$
解答ス:4
となる。
復習
さらに、二項分布と正規分布の関係についても復習する。
$n$が十分に大きい数であるとき、二項分布$B(n,p)$は、正規分布$N(np,np(n-p))$で近似できる
だった。
式C,式Dより、
$np$(つまり$E(X)$)は$20$
$np(n-p)$(つまり$V(X)$)は$16$
なので、$X$は$N(20,16)$に近似する。
また、(1)で復習したように、
$B=aA+b$ としたとき、
$E(B)=aE(A)+b$
$V(B)=a^{2}V(A)$
なので、
$$
\begin{align}
E(R)&=\dfrac{1}{100}\cdot 20\\
&=\dfrac{1}{5}
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
V(R)&=\left(\dfrac{1}{100}\right)^{2}\cdot 16\\
&=\left(\dfrac{4}{100}\right)^{2}\\
&=\dfrac{1}{25^{2}}
\end{align}
$$
より、$R$は正規分布$N\left(\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{25^{2}}\right)$に近似する。
解答セ:1, ソ:5
標準偏差は分散の正の平方根なので、
$$
\begin{align}
S(R)&=\sqrt{\dfrac{1}{25^{2}}}\\
&=\dfrac{1}{25}
\end{align}
$$
である。
解答タ:1, チ:2, ツ:5
(ii)
$X$が$10$であったとき、
標本比率は$\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$である。
また、標本の大きさは$100$。
これを用いて、母比率を推定する。
復習
標本比率を$R$,標本の大きさを$n$とすると、母比率$p$を推定する式は、
$\begin{aligned}& R-z\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}\\&\hspace{120px}\leqq p\leqq\\&\hspace{150px} R+z\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}\end{aligned}$
ただし、$z$は
信頼度95%のとき、$1.96$
信頼度99%のとき、$2.58$
だった。
$z$の値は、今回は問題に書いてある。
なので、求める信頼区間は、
$\begin{aligned}&\dfrac{1}{10}-1.96\sqrt{\dfrac{\cfrac{1}{10}\cdot\cfrac{9}{10}}{100}}\\&\hspace{134px}\leqq p\leqq\\&\hspace{150px}\dfrac{1}{10}+1.96\sqrt{\dfrac{\cfrac{1}{10}\cdot\cfrac{9}{10}}{100}}\end{aligned}$
途中式
まず根号の中の複分数を整理しよう。
分母分子に$100$をかけて、
$\dfrac{1}{10}-1.96\sqrt{\dfrac{1\cdot 9}{100^{2}}}\leqq p\leqq\dfrac{1}{10}+1.96\sqrt{\dfrac{1\cdot 9}{100^{2}}}$
$\dfrac{1}{10}-1.96\cdot\dfrac{3}{100}\leqq p\leqq\dfrac{1}{10}+1.96\cdot\dfrac{3}{100}$
左辺と右辺を通分して、
$\dfrac{10-1.96\cdot 3}{100}\leqq p\leqq\dfrac{10+1.96\cdot 3}{100}$
あとは地道に計算すると、
となるので、問題文のマスに合うように四捨五入して、
$0.04\leqq p\leqq 0.16$
である。
解答テ:0, ト:0, ナ:4, ニ:0, ヌ:1, ネ:6