表Ａをもとに確率分布表を書く。

表Ｂ

	1	2	3	4	5	計
$P(S)$	$\dfrac{4}{10}$	$\dfrac{3}{10}$	$\dfrac{2}{10}$	$\dfrac{1}{10}$	$0$	$1$
$P(T)$	$0$	$\dfrac{1}{10}$	$\dfrac{2}{10}$	$\dfrac{3}{10}$	$\dfrac{4}{10}$	$1$

表Ｂより、
$$ \begin{align} E(S)&=1\cdot\dfrac{4}{10}+2\cdot\dfrac{3}{10}+3\cdot\dfrac{2}{10}+4\cdot\dfrac{1}{10}\\ &=\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}\\ &=\dfrac{10}{5}\\ &=2\class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$

解答カ：２

同じく表Ｂより、
$$ \begin{align} E(T)&=2\cdot\dfrac{1}{10}+3\cdot\dfrac{2}{10}+4\cdot\dfrac{3}{10}+5\cdot\dfrac{4}{10}\\ &=\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}+\dfrac{10}{5}\\ &=\dfrac{20}{5}\\ &=4\class{tex_formula}{式Ｂ} \end{align} $$

解答キ：４

復習

確率変数$A$があって、$A$の平均値を$E(A)$，分散を$V(A)$，標準偏差を$S(A)$とする。
$B=aA+b$ ただし、$a$，$b$は定数
とするとき、$B$の平均$E(B)$，分散$V(B)$，標準偏差$S(B)$はそれぞれ
$E(B)=aE(A)+b$ $V(B)=a^{2}V(A)$ $S(B)=|a|S(A)$ となる。

なので、
$\left\{\begin{array}{l}
E(aS-1)=5\\
E(bT-1)=5
\end{array}\right.$
は、
$\left\{\begin{array}{l}
aE(S)-1=5\\
bE(T)-1=5
\end{array}\right.$
と書き換えられる。
これに式Ａ，式Ｂを代入して、
$\left\{\begin{array}{l}
2a-1=5\\
4b-1=5
\end{array}\right.$
より、
$2a-1=5$
$2a=6$
$a=3$

解答ク：３

$4b-1=5$
$4b=6$
$b=\dfrac{3}{2}$

解答ケ：３, コ：２

である。

(i)

まず、二項分布について復習しよう。

復習

表Ｃのような確率変数$R$があったとき、

表Ｃ

$R$	$0$	$1$	$\cdots$	$n$	計
確率	${}_{n}\mathrm{C}_{0}\cdot p^{0}\cdot(1-p)^{n}$	${}_{n}\mathrm{C}_{1}\cdot p^{1}\cdot(1-p)^{n-1}$	$\cdots$	${}_{n}\mathrm{C}_{n}\cdot p^{n}\cdot(1-p)^{0}$	$1$

$R$は二項分布に従う。

$R$の 平均(期待値)$E(R)=np$ 分散$V(R)=np(1-p)$ である。

復習から、確率変数$X$の平均$E(X)$，分散$V(X)$は、
$$ \begin{align} E(X)&=np\\ &=100\cdot\dfrac{1}{5}\\ &=20\class{tex_formula}{式Ｃ} \end{align} $$

解答サ：２, シ：０

$$ \begin{align} V(X)&=np(1-p)\\ &=100\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{4}{5}\\ &=16\class{tex_formula}{式Ｄ} \end{align} $$ である。
標準偏差$S(X)$は分散の正の平方根なので、
$$ \begin{align} S(X)&=\sqrt{V(X)}\\ &=\sqrt{16}\\ &=4 \end{align} $$

解答ス：４

となる。

復習

さらに、二項分布と正規分布の関係についても復習する。
$n$が十分に大きい数であるとき、二項分布$B(n,p)$は、正規分布$N(np,np(n-p))$で近似できる
だった。

式Ｃ，式Ｄより、
$np$（つまり$E(X)$）は$20$
$np(n-p)$（つまり$V(X)$）は$16$
なので、$X$は$N(20,16)$に近似する。

また、(1)で復習したように、
$B=aA+b$ としたとき、
$E(B)=aE(A)+b$
$V(B)=a^{2}V(A)$

なので、
$$ \begin{align} E(R)&=\dfrac{1}{100}\cdot 20\\ &=\dfrac{1}{5} \end{align} $$ $$ \begin{align} V(R)&=\left(\dfrac{1}{100}\right)^{2}\cdot 16\\ &=\left(\dfrac{4}{100}\right)^{2}\\ &=\dfrac{1}{25^{2}} \end{align} $$ より、$R$は正規分布$N\left(\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{25^{2}}\right)$に近似する。

解答セ：１, ソ：５

標準偏差は分散の正の平方根なので、
$$ \begin{align} S(R)&=\sqrt{\dfrac{1}{25^{2}}}\\ &=\dfrac{1}{25} \end{align} $$ である。

解答タ：１, チ：２, ツ：５

(ii)

$X$が$10$であったとき、
標本比率は$\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$である。
また、標本の大きさは$100$。
これを用いて、母比率を推定する。

復習

標本比率を$R$，標本の大きさを$n$とすると、母比率$p$を推定する式は、
$\begin{aligned}& R-z\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}\\&\hspace{120px}\leqq p\leqq\\&\hspace{150px} R+z\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}\end{aligned}$
ただし、$z$は
信頼度95％のとき、$1.96$
信頼度99％のとき、$2.58$
だった。
$z$の値は、今回は問題に書いてある。

なので、求める信頼区間は、
$\begin{aligned}&\dfrac{1}{10}-1.96\sqrt{\dfrac{\cfrac{1}{10}\cdot\cfrac{9}{10}}{100}}\\&\hspace{134px}\leqq p\leqq\\&\hspace{150px}\dfrac{1}{10}+1.96\sqrt{\dfrac{\cfrac{1}{10}\cdot\cfrac{9}{10}}{100}}\end{aligned}$

途中式

まず根号の中の複分数を整理しよう。
分母分子に$100$をかけて、
$\dfrac{1}{10}-1.96\sqrt{\dfrac{1\cdot 9}{100^{2}}}\leqq p\leqq\dfrac{1}{10}+1.96\sqrt{\dfrac{1\cdot 9}{100^{2}}}$
$\dfrac{1}{10}-1.96\cdot\dfrac{3}{100}\leqq p\leqq\dfrac{1}{10}+1.96\cdot\dfrac{3}{100}$
左辺と右辺を通分して、
$\dfrac{10-1.96\cdot 3}{100}\leqq p\leqq\dfrac{10+1.96\cdot 3}{100}$
あとは地道に計算すると、

$0.0412\leqq p\leqq 0.1588$
となるので、問題文のマスに合うように四捨五入して、
$0.04\leqq p\leqq 0.16$
である。

解答テ：０, ト：０, ナ：４, ニ：０, ヌ：１, ネ：６