$702$を素因数分解すると

より
$702=2\times 3^{3}\times 13$
となる。

解答ア：３, イ：１, ウ：３

ここで、正の約数の個数について復習しておくと、

だった。

さっき計算したように
$702=2^{\AKA{1}}\times 3^{\MIDORI{3}}\times 13^{\MURASAKI{1}}$
だったので、復習より、$702$の正の約数は
$(\AKA{1}+1)\times(\MIDORI{3}+1)\times(\MURASAKI{1}+1)=16$
個存在する。

解答エ：１, オ：６

次は、不定方程式
$9x-23y=1$式Ａ
だ。

まず、式Ａの解をひとつ見つけよう。

$9$と$23$に$5$と$2$をかけると
$\left\{\begin{array}{l} 9\times 5=45\\ 23\times 2=46 \end{array}\right.$
なので、その差は$1$だ。

このことに気づくと、式Ａの解のひとつは
$(-5,-2)$
で、これを式Ａに代入すると
$9\cdot(-5)-23\cdot(-2)=1$式Ｂ
と表せることが分かる。

これに気づかなければ、ユークリッドの互除法で式Ｂをつくることになる。

式Ｂができると、あとはお決まりの作業だ。

式Ａから式Ｂを辺々引くと

となるから、
$9(x+5)=23(y+2)$式Ｃ
とかける。

ここで、$9$と$23$は互いに素なので、式Ｃが成り立つためには、$\ell$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}x+5=23\ell\\y+2=9\ell\end{array}\right.$
でなければならない。

これを変形して、不定方程式Ａの解は、
$\left\{\begin{array}{l}x=23\ell-5\\y=9\ell-2\end{array}\right.$（$\ell$は整数）式Ｄ
と表せる。

式Ｄより、$x$が正の整数で最小になるのは、
$\ell=1$
のときで、その解は、式Ｄに$\ell=1$を代入した
$\left\{\begin{array}{l}x=18\\y=7\end{array}\right.$
であることが分かる。

解答カ：１, キ：８, ク：７

(i)

まず、条件(A)について考える。

正の整数$n$と$702$の最大公約数が$9$だから、$n$は$9$の倍数である。
よって、正の整数$m$を用いて、
$n=9\AKA{m}$式Ｅ
とかける。

(1)で計算したように
$702=2\times 3^{3}\times 13$
なので、
$702=9\times (\AKA{2\times 3\times 13})$
とかける。

したがって、$n$と$702$の最大公約数が$9$であるとき、
$\AKA{m}$ と $\AKA{2\times 3\times 13}$ は互いに素である
（$m$は$2$でも$3$でも$13$でも割り切れない）
※ ことが分かる。

$2\times 3\times 13=78$ なので、これはさらに
$m$と$78$は$1$以外の公約数をもたない と言いかえられる。

解答ケ：２

(ii)

また、条件(B)を考えると、
$n$は$23$で割ると$6$余る数なので、整数$j$を用いて
$n=23j+6$式Ｆ
とかける。

以上より「条件(A)と条件(B)を満たす$n$」は、
$n=9m$式Ｅ
（$m$は$2$でも$3$でも$13$でも割り切れない）
※
$n=23j+6$式Ｆ

を満たす$n$のことだ。

式Ｅと式Ｆを使って$n$を消去すると、不定方程式
$9m=23j+6$式Ｇ
ができる。

不定方程式Ｇの$m$の解で※を満たすものを式Ｅに代入すると、問われている$n$が求められる。

ということで 不定方程式Ｇを解くんだけど、これには(2)の結果が使える。

(2)で考えたように、
$9x-23y=1$式Ａ
つまり
$9x=23y+1$式Ａ'
の解のひとつはカキクの
$\left\{\begin{array}{l}x=18\\y=7\end{array}\right.$
だったから、
$9\cdot18=23\cdot7+1$
とかける。

この式の両辺を$6$倍した
$9\cdot18\cdot6=23\cdot7\cdot6+6$式Ｈ'
と式Ｇを使って、(2)の後半と同じ作業をしよう。

式Ｇから式Ｈ'を辺々引くと

となる。

ここで、$9$と$23$は互いに素なので、式Ｉが成り立つためには、$k$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}
m-18\cdot 6=23k\\
j-7\cdot 6=9k
\end{array}\right.$
でなければならない。

これを変形して、不定方程式
$9m=23j+6$式Ｇ
の解は
$\left\{\begin{array}{l} m=18\cdot 6+23k\TF{式Ｊ}\\ j=7\cdot 6+9k \end{array}\right.$
となる。

したがって、不定方程式
$9x=23y+6$
の解は、$k$を整数として
$\left\{\begin{array}{l} x=18\cdot 6+23k\\ y=7\cdot 6+9k \end{array}\right.$
である。

解答コ：２, サ：３, シ：９

(iii)

(ii)で求めた
$m=\AKA{18\cdot6}+\MIDORI{23}k$式Ｊ
が※を満たす場合、

$\AKA{18\cdot6}$ は$2$の倍数
$\MIDORI{23}$ は$2$の倍数じゃない

なので、$m$が$2$で割り切れるのは
$k$が$2$の倍数 のときに限る。
したがって、$m$が$2$で割り切れないのは
$k$が$2$の倍数でない※Ａ とき

$\AKA{18\cdot6}$ は$3$の倍数
$\MIDORI{23}$ は$3$の倍数じゃない

なので、$m$が$3$で割り切れるのは
$k$が$3$の倍数 のときに限る。
したがって、$m$が$3$で割り切れないのは
$k$が$3$の倍数でない※Ｂ とき

であることが分かる。

$m$が$13$で割り切れない※Ｃ
ことについては.....あとで考えよう。

また、式Ｅに式Ｊを代入すると
$n=9(18\cdot 6+23k)$式Ｋ
と表せる。

式Ｋより、

$k$が小さいほど$n$も小さくなるから、$n$が最小になるのは$k$が最小のとき

問われている$n$は正なので、
$0 \lt 9(18\cdot 6+23k)$
$-\dfrac{18\cdot 6}{23}\lt k$
$k$は整数だから、
$-4 \leqq k$

よって、最小の正の整数$n$をさがすには、条件にあう$k$のうち $-4$以上で最小のものを考えればよい。

あとは、$k=-4$ から順にやってみる。

$k=-4$ は※Ａを満たさないので、不適。

$k=-3$ は※Ｂを満たさないので、不適。

$k=-2$ は※Ａを満たさないので、不適。

$k=-1$ のとき
$k=-1$ は※Ａ，※Ｂを満たす。 $k=-1$を式Ｊに代入すると、
$$ \begin{align} m&=18\cdot 6 -23\\ &=85\TF{式Ｌ} \end{align} $$ となり、$13$で割り切れないので※Ｃを満たす。

したがって、求める最小の$n$は、式Ｌを式Ｅに代入した
$$ \begin{align} n&=9\cdot 85\\ &=765 \end{align} $$ である。

解答ス：７, セ：６, ソ：５

最後は、命題(a)～(c)の真偽を答える問題だ。
存在するかどうかを問われている正の整数を$n$とする。

$n$と$702$の最大公約数は$9$なので、(3)(i) と同様に
$n=9m$式Ｅ
と表せる。

式Eより、命題の条件を満たす$m$が存在すれば、$n$が存在する。
なので、$n$の代わりに$m$について考えよう。

(3) で考えたように、
$n$と$702$の最大公約数が$9$条件(A)
$n$を$\AKA{23}$で割った余りが$\MIDORI{6}$条件(B)
であるとき、整数$j$を用いて
$9m=\AKA{23}j+\MIDORI{6}$式Ｇ
と表せ、$m$の解は
$m=18\cdot \MIDORI{6}+\AKA{23}k$式Ｊ
（$m$は$2$でも$3$でも$13$でも割り切れない）
※
だった。

(3) での作業を見れば分かるように、式Ｇ，式Ｊの$\AKA{23}$，$\MIDORI{6}$は、条件(B) の$\AKA{23}$，$\MIDORI{6}$からきている。

このことから、
$n$と$702$の最大公約数が$9$
$n$を$\AKA{p}$で割った余りが$\MIDORI{q}$
であるとき、整数$j$を用いて
$9m=\AKA{p}j+\MIDORI{q}$式Ｍ
と表せ、$m$の解は
$m=18\MIDORI{q}+\AKA{p}k$式Ｎ
（$m$は$2$でも$3$でも$13$でも割り切れない）
※
となることが分かる。

これを使って、命題(a)～命題(c) をひとつずつ検討しよう。

命題(a)

式Ｍ，式Ｎより、
$n$と$702$の最大公約数が$9$
$n$を$\AKA{23}$で割った余りが$\MIDORI{4}$
であるとき、整数$j$を用いて
$9m=\AKA{23}j+\MIDORI{4}$
と表せ、$m$の解は
$m=18\cdot\MIDORI{4}+\AKA{23}k$式Ｏ
（$m$は$2$でも$3$でも$13$でも割り切れない）
※
とかける。

式Ｏについて (3)(iii)と同様に考えると、$m$は$2$でも$3$でも割り切れないので、
$k$は $2$の倍数でない※Ａ
$3$の倍数でない※Ｂ

また、$m$は$13$で割り切れない。※Ｃ

さらに、$n$は正の整数なので、式Ｅに式Ｏを代入して
$0 \lt 9(18\cdot 4+23k)$
$-\dfrac{18\cdot 4}{23} \lt k$
$-3\leqq k$
である。

この範囲の$k$を順にやってみると、

$k=-3$ は※Ｂを満たさないので不適。

$k=-2$ は※Ａを満たさないので不適。

$k=-1$のとき
$k=-1$ は※Ａ，※Ｂを満たす $k=-1$ を式Ｏに代入すると $$ \begin{align} m&=18\cdot 4-23\\ &=49 \end{align} $$ となり、$13$で割り切れないので※Ｃを満たす。

したがって、$m=49$のとき、命題(a)の条件を満たす整数が存在する。

命題(b)

式Ｍより、
$n$と$702$の最大公約数が$9$
$n$を$\AKA{24}$で割った余りが$\MIDORI{7}$
であるとき、整数$j$を用いて
$9m=\AKA{24}j+\MIDORI{7}$
と表せる。

この不定方程式は
左辺は$3$の倍数
右辺は$3$の倍数$+7$だから、$3$の倍数じゃない

なので、整数解は存在しない。

よって、命題(b)で問われている整数も存在しない。

命題(c)

式Ｍより、
$n$と$702$の最大公約数が$9$
$n$を$\AKA{24}$で割った余りが$\MIDORI{6}$
であるとき、整数$j$を用いて
$9m=\AKA{24}j+\MIDORI{6}$
と表せる。

この不定方程式は
$m$は$2$の倍数じゃないから、
左辺は$2$の倍数じゃない
右辺は$2$の倍数
だから、整数解は存在しない。

よって、命題(c)で問われている整数も存在しない。

以上より、解答群のうち正しいものは
③
である。

解答タ：３