二人で１回じゃんけんをしたときを考える。

二人の手の出し方は、全部で
$3^{2}$式Ａ
通り。

あいこになるのは二人が同じ手を出したとき。
このときの二人の手の出し方は、グー または チョキ または パー なので、
${}_{3}\mathrm{C}_{1}$式Ｂ
通り。

よって、あいこになる確率は、
$$ \begin{align} \dfrac{\text{式Ｂ}}{\text{式Ａ}}&=\dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}}{3^{2}}\\ &=\dfrac{1}{3}\TF{式Ｃ} \end{align} $$ である。

式Ｃの確率は、いろいろな考え方で求めることができる。
そのうちのいくつかを別解として紹介しておくけど、上の解がすんなり頭に入った人は 読み飛ばしてもらってかまわない。
別解はタップ（クリック）すれば見ることができる。

また、このとき、「あいこになる」の余事象は「勝敗が決まる」なので、勝敗が決まる確率は
$1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$式Ｄ
となる。

以上より、二人で１回じゃんけんをしたとき、

あいこになる確率は$\dfrac{1}{3}$式Ｃ
勝敗が決まる確率は$\dfrac{2}{3}$式Ｄ

であることが分かる。

式Ｃ，式Ｄを使って問題を解く。

(i)

１回目であいこになる確率とは、１回じゃんけんをしてあいこになる確率のこと。

よって、求める確率は、式Ｃの

$\dfrac{1}{3}$

である。

解答ア：１, イ：３

(ii)

２回目で優勝者が決まるのは、
１回目はあいこ
２回目は勝敗が決まる
場合。

なので、その確率は、
$$ \begin{align} \text{式Ｃ}\times \text{式Ｄ}&=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}\\ &=\dfrac{2}{9} \end{align} $$

である。

解答ウ：２, エ：９

(iii)

同様に、３回目で優勝者が決まるのは、
１回目と２回目はあいこ
３回目は勝敗が決まる
場合。

なので、その確率は
$$ \begin{align} \text{式Ｃ}\times \text{式Ｃ}\times \text{式Ｄ}&=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}\\ &=\dfrac{2}{27} \end{align} $$

である。

解答オ：２, カ：２, キ：７

今度は三人でじゃんけんをする場合だ。
(1)と同様に、この三人をＡ君，Ｂ君，Ｃ君とする。

三人でじゃんけんをした場合、あいこになるのは
三人が同じ手を出した場合
三人がすべて異なる手を出した場合 の２パターンある。

したがって、、三人でじゃんけんをしてあいこになる確率は、
$$ \begin{align} \text{式Ｅ}+\text{式Ｈ}&=\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{9}\\ &=\dfrac{1}{3} \end{align} $$ である。

(1)と同様に これを求める方法もたくさん考えられるけど、長くなるので別解は省略する。

また、このとき、「あいこになる」の余事象は「勝敗が決まる」なので、勝敗が決まる確率は
$1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$式Ｉ
だけど、この中には
二人勝ち、一人負ける
一人勝ち、二人負ける の２パターンが含まれている。

このふたつのパターンが起こる確率は等しいので、それぞれのパターンの確率は
$$ \begin{align} \dfrac{\text{式Ｉ}}{2}&=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\\ &=\dfrac{1}{3} \end{align} $$ だ。

以上より、三人で１回じゃんけんをしたとき、
$\quad\left.\begin{array}{l} \text{あいこになる}\\ \text{二人勝つ}\\ \text{一人勝つ} \end{array}\right\}$確率はすべて$\dfrac{1}{3}$
であることが分かる。

したがって、
$\left.\begin{array}{l} \text{３→３}\\ \text{３→２}\\ \text{３→１} \end{array}\right\}$の確率はすべて$\dfrac{1}{3}$式Ｊ である。

また、(1)の式Ｃ，式Ｄは
$\text{２→２}$ の確率は$\dfrac{1}{3}$式Ｃ
$\text{２→１}$ の確率は$\dfrac{2}{3}$式Ｄ と表せる。

式Ｊ，式Ｃ，式Ｄを使って 問題を解く。

(i)

１回目で優勝者が決まるのは $\text{３→１}$ のとき。

よって、その確率は
$\text{式Ｊ}=\dfrac{1}{3}$

である。

解答ク：１, ケ：３

(ii)

２回目で優勝者が決まる場合は
$\text{３→３→１}$パターンＡ
$\text{３→２→１}$パターンＢ の２パターンある。

したがって、２回目で優勝者が決まる確率は
$$ \begin{align} \text{式Ｋ}+\text{式Ｌ}&=\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{9}\\ &=\dfrac{1}{3}\TF{式Ｍ} \end{align} $$ となる。

(iii)

２回目で優勝者が決まらない場合は
$\ \ $※ $\text{３→３→３}$
$\text{３→３→２}$
$\text{３→２→２}$ の３パターンある。

なので、３回目で優勝者が決まる場合は
$\text{３→３→３→１}$パターンＣ
$\text{３→３→２→１}$パターンＤ
$\text{３→２→２→１}$パターンＥ の３パターンだ。

したがって、３回目で優勝者が決まる確率は
$$ \begin{align} \text{式Ｎ}+\text{式Ｏ}&=\dfrac{1}{3^{2}}+\dfrac{2}{3^{3}}\\ &=\dfrac{3+2}{3^{3}}\\ &=\dfrac{5}{27}\TF{式Ｐ} \end{align} $$ となる。

解答セ：５, ソ：２, タ：７

(i)

ルール１とルール２の違いは、３回目のじゃんけんに参加する人数だけ。

じゃんけんの３回目が行われるのは２回目までで優勝者が決まらなかったとき。
このときの参加人数の推移は、(2)(iii)の※の３パターンある。
下に、※をもう一度載せておいた。

$\ \ $※ $\text{３→３→３}$
$\text{３→３→２}$
$\text{３→２→２}$

ルール１からルール２に変わった場合、※の
$\text{３→３→３}$ と $\text{３→３→２}$ は変化しない。
$\text{３→２→２}$ は $\text{３→２→}\AKA{\cancelto{\Large{\text{3}}}{\KURO{\text{2}}}}$ に変わる。

よって、ルール２でじゃんけんを行う人数を
（２回目，３回目）
のように表すと、起こり得るのは
$(3,3)$，$(3,2)$，$(2,3)$
の３通りである。

解答チ：９

したがって、ルール２で３回目で優勝者が決まる場合は、
$\text{３→３→３→１}$パターンＣ
$\text{３→３→２→１}$パターンＤ
$\text{３→２→}\AKA{\cancelto{\Large{\text{3}}}{\KURO{\text{2}}}}\text{→１}$パターンＦ の３パターンある。

(ii)

優勝者が決まる確率について、これまでに分かったことをまとめておこう。

以上より、ふたつのルールで優勝者が決まる確率の違いは、パターンＥとパターンＦの確率の違いだといえる。

パターンＥの確率は、式Ｏの
$\dfrac{2}{3^{3}}$式Ｏ
だった。

パターンＦは
１回目に $\text{３→２}$
２回目に $\text{２→２}$
３回目に $\text{３→１}$
となる場合なので、その確率は

$$ \begin{align} \text{式Ｊ}\times \text{式Ｃ}\times \text{式Ｊ}&=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\\ &=\dfrac{1}{3^{3}}\TF{式Ｐ} \end{align} $$ である。

よって、優勝者が決まる確率は
$$ \begin{align} \text{式Ｏ}-\text{式Ｐ}&=\dfrac{2}{3^{3}}-\dfrac{1}{3^{3}}\\ &=\dfrac{1}{27} \end{align} $$ だけ ルール１の方が大きい。

解答ツ：１, テ：２, ト：７, ナ：０