まず、標本平均についての復習から。

復習より、標本の大きさ$n$が大きいとき、Ｂ社製蛍光灯の寿命の
標本平均$\overline{X}$は、近似的に
正規分布 $N\left(m_{X},\dfrac{\sigma^{2}}{n}\right)$ に従う ことが分かる。

解答ア：６

さらに、母平均の信頼区間の式の復習もしておこう。

いま、
母標準偏差$\sigma$は、標本標準偏差の$750$で代用
標本平均$\overline{X}=8900$
標本の大きさ$n=100$
信頼度は$ 95\%$なので、$z=1.96$

だ。

よって、復習の式Ａより、母平均$m_{X}$の信頼度$ 95\%$での信頼区間は
$\begin{aligned} 8900-1.96\cdot &\dfrac{750}{\sqrt{100}}\\ &\quad\leqq m_{X}\leqq\\ &\hspace{56px}8900+1.96\cdot\dfrac{750}{\sqrt{100}} \end{aligned}$ 式Ｂ
とかける。

これを計算すると、
$8900-1.96\cdot 75\leqq m_{X}\leqq 8900+1.96\cdot 75$
$8900-147\leqq m_{X}\leqq 8900+147$
より、信頼区間
$8753\leqq m_{X}\leqq 9047$式Ｂ'
が求められる。

解答イ：０, ウ：５

(i)

Ｂ社製蛍光灯の単位寿命は
母平均$m_{0}=\dfrac{m_{X}}{1100}$
母標準偏差$\dfrac{\sigma}{1100}$

なので、最初にした復習より、標本の大きさ$n$が大きいとき、

標本平均$\overline{Y}$は近似的に
正規分布$N\left(m_{0},\dfrac{\left(\tfrac{\sigma}{1100}\right)^{2}}{n}\right)=N\left(m_{0},\dfrac{\sigma^{2}}{1100^{2}n}\right)$
に従う ことが分かる。

解答エ：６

また、式Ａを使って母平均$m_{0}$の信頼区間を求めると、
母標準偏差$\dfrac{\sigma}{1100}$は、
標本標準偏差の$\dfrac{750}{1100}$で代用
標本平均$\overline{Y}=\dfrac{\overline{X}}{1100}=\dfrac{8900}{1100}$
標本の大きさ$n=100$
信頼度は$ 95\%$なので、$z=1.96$

だから、

$\begin{aligned} \dfrac{8900}{1100}-1.96\cdot &\dfrac{\tfrac{750}{1100}}{\sqrt{100}}\\ &\qquad\leqq m_{0}\leqq\\ &\hspace{56px}\dfrac{8900}{1100}+1.96\cdot\dfrac{\tfrac{750}{1100}}{\sqrt{100}} \end{aligned}$
より

$\begin{aligned} \dfrac{1}{1100}&\left\{\AKA{8900-1.96\cdot\dfrac{750}{\sqrt{100}}}\right\}\\ &\hspace{90px}\leqq m_{0}\leqq\\ &\hspace{70px}\dfrac{1}{1100}\left\{\MIDORI{8900+1.96\cdot\dfrac{750}{\sqrt{100}}}\right\} \end{aligned}$
とかける。

この式の赤い部分は式Ｂの左辺，緑の部分は右辺と同じだ。
なので、これを計算すると、式Ｂ'より
$\dfrac{1}{1100}\cdot\AKA{8753}\leqq m_{0}\leqq\dfrac{1}{1100}\cdot\MIDORI{9047}$式Ｃ
になるはずだ。

これをさらに計算して、求める信頼区間は
$ 7.957\ldots\leqq m_{0}\leqq 8.224\ldots$
$7.96\leqq m_{0}\leqq 8.22$
となる。

解答オ：３

(ii)

次に、Ｂ社製蛍光灯の単価が$c$円の場合を考える。

このときの単位寿命の母平均$m_{Y}$の信頼区間は、(i)の作業から、式Ｃの$1100$を$c$にかえた
$\dfrac{1}{c}\cdot 8753\leqq m_{Y}\leqq\dfrac{1}{c}\cdot 9047$
になることが分かる。

問題文の指示どおり
$a\leqq m_{Y}\leqq b$
とおくと、
$\left\{\begin{array}{l} a=\dfrac{8753}{c}\TF{式Ｄ}\\ b=\dfrac{9047}{c} \end{array}\right.$
と表せる。

よって、単価$c$が安くなるとき、つまり$c$の値が小さくなるとき、
$a$の値は大きくなる。
$b$の値は大きくなる。

解答カ：５

また、
$b-a=\dfrac{9047-8753}{c}$
だから、$c$の値が小さくなると
$b-a$の値は大きくなる。

解答キ：２

(iii)

$m_{Y}$の信頼区間がすべて$8$より大きい場合は、数直線で表すと図Ａのような場合だ。

図の固定

式にすると
$8 \lt a$
の場合である。

解答ク：１

これに式Ｄを代入すると
$8 \lt \dfrac{8753}{c}$
となって、このときの単価$c$の範囲の式ができる。

これを解いて、
$c \lt \dfrac{8753}{8}$
$c \lt 1094.125$

この範囲に含まれる最大の整数$c$は
$1094$
である。

解答ケ：１, コ：０, サ：９, シ：４