流れを無視する感じになるけれど、問題の連立不等式は難しくないから、先に解いてしまう。
その方が説明もシンプルになるし。

$\left\{\begin{array}{l} x+\sqrt{3}a+1\geqq 3x\TF{式Ａ}\\ x+a\geqq 1\TF{式Ｂ} \end{array}\right.$
を考える。

式Ａを変形すると
$2x\leqq\sqrt{3}a+1$
$x\leqq\dfrac{\sqrt{3}a+1}{2}$式Ａ'

式Ｂを変形すると
$x\geqq 1-a$
$1-a\leqq x$式Ｂ'

となる。

したがって、

場合分けＡ

$1-a \lt \dfrac{\sqrt{3}a+1}{2}$
つまり

途中式

$2-2a \lt \sqrt{3}a+1$
$1 \lt \sqrt{3}a+2a$
$1 \lt (\sqrt{3}+2)a$
$\dfrac{1}{\sqrt{3}+2} \lt a$
$\dfrac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} \lt a$
$\dfrac{\sqrt{3}-2}{-1} \lt a$
$-\sqrt{3}+2 \lt a$

$2-\sqrt{3} \lt a$式Ｃ
のとき、式Ａ'と式Ｂ'の範囲の関係は図Ａのようになる。

よって、集合$A$の範囲は、図Ａの赤い範囲の
$1-a\leqq x\leqq\dfrac{\sqrt{3}a+1}{2}$式Ｄ
である。

場合分けＢ

$1-a=\dfrac{\sqrt{3}a+1}{2}$
つまり、式Ｃの不等号を等号に変えた
$a=2-\sqrt{3}$式Ｅ
のとき、式Ａ'と式Ｂ'の範囲の関係は図Ｂのようになる。

よって、集合$A$は、図Ｂの赤い点の
$x=1-a$
に式Ｅを代入した
$$ \begin{align} x&=1-(2-\sqrt{3})\\ &=-1+\sqrt{3}\\ &=\sqrt{3}-1\TF{式Ｆ} \end{align} $$ である。

場合分けＣ

$1-a \gt \dfrac{\sqrt{3}a+1}{2}$
つまり、式Ｃの不等号の向きを逆にした
$a \lt 2-\sqrt{3}$
のとき、式Ａ'と式Ｂ'の範囲の関係は図Ｃのようになる。

よって、集合$A$に含まれる実数は存在しない。

$a=2$は、上の「不等式を解く」の場合分けＡにあてはまる。
なので、このときの$A$の範囲は、式Ｄに$a=2$を代入した
$1-2\leqq x\leqq\dfrac{2\sqrt{3}+1}{2}$

よって、

(i)

上の「不等式を解く」より、$A$の要素がただ一つとなるのは場合分けＢの
$a=2-\sqrt{3}$式Ｅ
のとき。

解答ウ：２

このときの$A$の要素は、式Ｆの
$\sqrt{3}-1$式Ｆ
ただ一つである。

解答エ：１

(ii)

$a \gt 2-\sqrt{3}$は、「不等式を解く」の場合分けＡのとき。

このとき、$A$の範囲は、式Ｄの
$1-a\leqq x\leqq\dfrac{\sqrt{3}a+1}{2}$式Ｄ
である。

解答オ：４

式Ｄの範囲に入る整数が$1$だけになるのは、図Ｄのようになる場合。

図Ｄより、これは、連立不等式
$\left\{\begin{array}{l} 0 \lt 1-a \lt 1\TF{式Ｈ}\\ 1 \lt \dfrac{\sqrt{3}a+1}{2} \lt 2\TF{式Ｉ} \end{array}\right.$
が成り立つときだ。

ということで、この連立不等式を解く。

である。

式Ｈ'と式Ｉ'の範囲を数直線にすると図Ｅになる。

図Ｅより、連立不等式の解は
$\dfrac{\sqrt{3}}{3} \lt a \lt 1$
であることが分かる。

したがって、
$A\cap B=\{1\}$
であるような$a$の範囲も
$\dfrac{\sqrt{3}}{3} \lt a \lt 1$
となる。

解答カ：３, キ：０, ク：０, ケ：１