最初に、グラフの移動と拡大縮小について復習しておこう。

復習

$y=f(x)$について、

$x$を$\cfrac{x}{s}$に変えると、
$x$軸方向に$s$倍に拡大

$y$を$\cfrac{y}{t}$に変えると、
$y$軸方向に$t$倍に拡大

$x$を$sx$に変えると、
$x$軸方向に$\cfrac{1}{s}$に縮小

$y$を$ty$に変えると、
$y$軸方向に$\cfrac{1}{t}$に縮小

$y=\sin\dfrac{x}{2}$ は、$y=\sin x$ の $x$ を $\dfrac{x}{2}$ に変えたもの。

なので、復習より、
$y=\sin\dfrac{x}{2}$ のグラフは、$y=\sin x$ のグラフを $x$軸方向に$2$倍に拡大したもの だ。

よって、

であることが分かる。

(i)

$\sin\dfrac{x}{2}=-1$
となるのは、$k$を整数として
$\dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{2}\pi+2k\pi$
より
$ x=3\pi+4k\pi$式Ａ
のとき。 $\cos\dfrac{x}{3}=-1$
となるのは、$\ell$を整数として
$\dfrac{x}{3}=\pi+2\ell\pi$
より
$ x=3\pi+6\ell\pi$式Ｂ
のとき。

式Ａと式Ｂの両方が成り立つ最小の正の$x$は、
$k=\ell=0$
のときの
$ x=3\pi$
である。

解答ウ：３

なので、
$f(3\pi)=-2$式Ｃ
であることが分かる。

また、$f(x)$に
$x=3\pi +\alpha$
を代入すると
$f(3\pi+\alpha)=\sin\dfrac{3\pi+\alpha}{2}+\cos\dfrac{3\pi+\alpha}{3}$②
となる。

これを
$f(3\pi+\alpha)=\sin\left(\dfrac{3}{2}\pi+\dfrac{\alpha}{2}\right)+\cos\left(\pi+\dfrac{\alpha}{3}\right)$
と変形すると、加法定理より、

$$ \begin{align} \sin\left(\dfrac{3}{2}\pi+\dfrac{\alpha}{2}\right)&=\sin\dfrac{3}{2}\pi\cdot\cos\dfrac{\alpha}{2}\\ &\qquad+\cos\dfrac{3}{2}\pi\cdot\sin\dfrac{\alpha}{2}\\ &=-1\cdot\cos\dfrac{\alpha}{2}+0\cdot\sin\dfrac{\alpha}{2}\\ &=-\cos\dfrac{\alpha}{2} \end{align} $$

$$ \begin{align} \cos\left(\pi+\dfrac{\alpha}{3}\right)&=\cos\pi\cdot\cos\dfrac{\alpha}{3}\\ &\qquad-\sin\pi\cdot\sin\dfrac{\alpha}{3}\\ &=-1\cdot\cos\dfrac{\alpha}{3}-0\cdot\sin\dfrac{\alpha}{3}\\ &=-\cos\dfrac{\alpha}{3} \end{align} $$

なので、②式は
$f(3\pi+\alpha)=-\cos\dfrac{\alpha}{2}-\cos\dfrac{\alpha}{3}$②'
と表せる。

解答エ：３, オ：２ （順不同）

ここで、$f(x)$が周期$\alpha$の周期関数であることは、
$f(x+\alpha)=f(x)$③
が成り立つことだ。

というわけで、③式が成り立つかどうかを考える。

③式が成り立つと仮定して、ウで求めた
$ x=3\pi$
を代入すると
$f(3\pi+\alpha)=f(3\pi)$式Ｄ
となる。

式Ｄの

左辺は、②'式より
$f(3\pi+\alpha)=-\cos\dfrac{\alpha}{2}-\cos\dfrac{\alpha}{3}$②'

右辺は、式Ｃより
$f(3\pi)=-2$式Ｃ

だ。

したがって、式Ｄは
$-\cos\dfrac{\alpha}{2}-\cos\dfrac{\alpha}{3}=-2$
より
$\cos\dfrac{\alpha}{2}+\cos\dfrac{\alpha}{3}=2$式Ｄ'
と変形できる。

$-1\leqq\cos\theta\leqq 1$ なので、式Ｄ'が成り立つのは
$\left\{\begin{array}{l}
\cos\dfrac{\alpha}{2}=1\\
\cos\dfrac{\alpha}{3}=1
\end{array}\right.$
のときしかない。

これをウと同じように考えると、

$\cos\dfrac{\alpha}{2}=1$
となるのは、$k$を整数として
$\dfrac{\alpha}{2}=2k\pi$
より
$\alpha=4k\pi$式Ｅ
のとき。 $\cos\dfrac{\alpha}{3}=1$
となるのは、$\ell$を整数として
$\dfrac{\alpha}{3}=2\ell\pi$
より
$\alpha=6\ell\pi$式Ｆ
のとき。

$4$と$6$の最小公倍数は$12$なので、式Ｅと式Ｆの両方が成り立つのは、$m$を整数として
$\alpha=12m\pi$
のときだから、最小の正の$\alpha$は
$m=1$
のときの
$\alpha=12\pi$
である。

解答カ：６

この先は問われてないし、説明も長くなるので省略する。

(ii)

$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点は、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
y=\sin\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{3}\\
y=\sin\dfrac{x}{2}-\cos\dfrac{x}{3}
\end{array}\right.$
の解だ。

なので、共有点の$x$座標は
$\sin\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{3}=\sin\dfrac{x}{2}-\cos\dfrac{x}{3}$
より
$\cos\dfrac{x}{3}=0$
を満たす$x$だ。

これは、$n$を整数として
$\dfrac{x}{3}=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$
より
$ x=\dfrac{3}{2}\pi+3n\pi$
とかける。

解答キ：８

以上より、
$f(x)$の周期はカの$ 12\pi$
$\FB{キ}$より、$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフは
$ 3\pi$間隔で共有点をもつ
ことが分かる。

したがって、
$f(x)$の１周期あたり 共有点は$4$つ あるはずだ。

ということで、選択肢のグラフで$T$の間の共有点を数えると、
⓪は共有点が$3$つ
①は共有点が$4$つ
②は共有点が$5$つ
③は共有点が$6$つ
④は共有点が$2$つ
ある。

よって、選択肢のうち、正しいグラフは
①
である。

解答ク：１