$90^{\circ}$の整数倍$\pm\theta$、例えば$ 90^{\circ}\pm\theta$や$ 180^{\circ}\pm\theta$の三角比は、$\theta$の三角比で表せる。
例題は、ばらばらの角度の三角比を、角度を$\theta$にそろえて計算する問題だ。

私は好きじゃないけど、次のような公式もある。

公式

$\sin(90^{\circ}\pm\theta)=\cos\theta$
$\sin(180^{\circ}\pm\theta)=\mp\sin\theta$
$\cos(90^{\circ}\pm\theta)=\mp\sin\theta$
$\cos(180^{\circ}\pm\theta)=-\cos\theta$
（複合同順）

この公式を暗記しておけば例題は解けるんだけど、先に書いたように、私は好きじゃない。どうせ憶えるのなら、英単語のひとつでも憶えた方がいいと思っています。
で、私のお薦めの方法は、憶えずに済む代わりに理解しなきゃいけない。「理解するより憶えた方がいいや」って人は公式を憶えてもらって、この先は読まなくても大丈夫です。

このページで復習したように、三角比は次のように定義できる。

定義

座標平面において、原点から、$x$軸から左回りに$\theta$の角度で引いた半直線（図Ａの緑の線）と、単位円との交点（赤い点）を考える。
この交点の
$x$座標を$\cos\theta$ $y$座標を$\sin\theta$ とする。

この定義の表現を少し変えて、図Ｂにおいて、
青い線の長さを$\sin\theta$ 緑の線の長さを$\cos\theta$ としよう。

でも、単に長さだと、例えば$\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{2}$と$\displaystyle \sin\theta=-\frac{1}{2}$のような、正の値と負の値の区別がつかない。
なので、図Ｃのように、$x$軸から下向きの長さと$y$軸から左向きの長さは負の値と考えることにしよう。

例えば図Ｄのようなとき、
$\sin\theta$は青い線の長さだけど、負の値 $\cos\theta$は緑の線の長さだけど、負の値 と考えることにする。

問題の式の
$\sin\theta+$$\sin(90^{\circ}-\theta)$
           $+$$\cos(90^{\circ}+\theta)$$+$$\cos(180^{\circ}-\theta)$式Ａ
は角度がばらばらなので、$\theta$にそろえよう。
角度をそろえるのは、公式ではなくてアドバイスの方法を使う。
慣れてくると頭の中で考えられるようになる。でも、はじめは図を描いて見ながら考えよう。
$\theta$の角度は分からないからどんな図を描いてもいいんだけど、$\theta=30^{\circ}$くらいの図を描くと分かりやすい。分かりにくくなるので$\theta=45^{\circ}$付近には描かないように。

角度を$\theta$にそろえるので、$\theta$の三角比の確認から。
$\sin\theta$は図Ｅの青い線の長さ $\cos\theta$は図Ｅの緑の線の長さ だ。

ここまで理解したところで、角度をそろえ始めよう。

数Ⅰでは負や$180^{\circ}$を超える角度の三角比はやらないけれど、これも(1)と同じように解ける。

$\cos(-90^{\circ}+\theta)$$+$$\cos(-\theta)$
          $+$$\sin(180^{\circ}+\theta)$$+$$\sin(270^{\circ}-\theta)$式Ｅ

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式Ｅの赤い部分の
$\cos(-90^{\circ}+\theta)$
は、図Ｉの赤い長さ。
図Ｅでこれと同じ長さなのは、青い線、つまり$\sin\theta$なので、
$\cos(-90^{\circ}+\theta)=\sin\theta$式Ｆ
とかける。

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式Ｅの青い部分の
$\cos(-\theta)$
は、図Ｊの赤い長さ。
図Ｅでこれと同じ長さなのは、緑の線、つまり$\cos\theta$なので、
$\cos(-\theta)=\cos\theta$式Ｇ
とかける。

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以上の式Ｆ，式Ｇ，式Ｈ，式Ｉを式Ｅに代入して、
$\cos(-90^{\circ}+\theta)+\cos(-\theta)$
          $+\sin(180^{\circ}+\theta)+\sin(270^{\circ}-\theta)$
$=\sin\theta+\cos\theta-\sin\theta-\cos\theta$
$=0$
である。

解答$0$