$k,a,b,c$の関係式を作りたいんだけど、手がかりが$x$の四次式と因数分解された式しかない。今出来ることは因数分解された式を展開することだけ。

$(x^{2}+ax+4)(x^{2}+bx-c)$
を展開して、
$x^{4}+(a+b)x^{3}+(ab-c+4)x^{2}$
                 $+(-ac+4b)x-4c$

これが
$x^{4}+5x^{3}+6x^{2}+kx-8$
と等しいので、
$\left\{\begin{array}{l}
a+b=5\\
ab-c+4=6\\
-ac+4b=k\\
-4c=-8
\end{array}\right.$式Ａ
である。

これを使って問題を解いてゆこう。

式Ａより、
$c=2$式Ｂ

解答ア：２

式Ｂを式Ａの他の式に代入して、
$\left\{\begin{array}{l}
a+b=5\\
ab=4\\
-2a+4b=k
\end{array}\right.$式Ａ'

$a,b$については、式Ａ'の上の２式をとりだして、
$\left\{\begin{array}{l}
a+b=5\\
ab=4
\end{array}\right.$
この連立方程式を解けばよい。

上の式を
$a=5-b$式Ｃ
と変形して、下の式に代入すると、
$b(5-b)=4$
$b^{2}-5b+4=0$
$(b-1)(b-4)=0$
より、
$b=1,4$

これを式Ｃに代入して、
$(a,\ b)=(1,\ 4),\ (4,\ 1)$
である。

だから、$a \lt b$ならば、
$\left\{\begin{array}{l}
a=1\\
b=4
\end{array}\right.$
となる。

解答イ：１, ウ：４

このとき、式Ａ'より、
$k=-2a+4b$
$k$$=14$
である。

解答エ：１, オ：４

$a\geqq b$ならば、
$\left\{\begin{array}{l}
a=4\\
b=1
\end{array}\right.$
となる。

解答カ：４, キ：１

このとき、式Ａ'より、
$k=-2a+4b$
$k$$=-4$
である。

解答ク：－, ケ：４