大学入試センター試験 2015年(平成27年) 旧課程 旧課程 追試 数学ⅠA 第1問 [1] 解説

解説

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分母の有理化

$a$の分母を有理化して、
$a=\displaystyle \frac{2(-1+\sqrt{2}+\sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2(-1+\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{3}-\sqrt{6}-3\sqrt{2})}{-2}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2(-1-2\sqrt{2}+\sqrt{3})}{-2}$
$a$$=-(-1-2\sqrt{2}+\sqrt{3})$
$a$$=1+2\sqrt{2}-\sqrt{3}$

解答ア:1, イ:2, ウ:2, エ:3

これを
$a-1-2\sqrt{2}=\sqrt{3}$
として両辺を2乗し、√のない項を左辺に、ある項を右辺に集めて、
$a^{2}-2a+6=4\sqrt{2}(a-1)$
となる。

解答オ:2, カ:6

これをさらに両辺2乗して、
$(a^{2}-2a+6)^{2}=\{4\sqrt{2}(a-1)\}^{2}$
$a^{4}-4a^{3}-16a^{2}+40a+4=0$
である。

解答キ:4, ク:1, ケ:6, コ:4, サ:0, シ:4