$G$の頂点の$y$座標は$4(a+1)^{2}$。
$G$と$x$軸との交点を$\alpha,\ \beta$（$\alpha \lt \beta$）とすると、２点間の距離は$\beta-\alpha$。
これが
$\beta-\alpha=4(a+1)^{2}\times 2$式Ａ
となる$a$を求める。

116
放物線がx軸から切り取る線分の長さ

$G$の式は
$y=-\displaystyle \frac{1}{4}(x+5a+4)(x-3a-4)$
なので、$G$と$x$軸の２つの交点の$x$座標は
$x+5a+4=0,\ x-3a-4=0$
より、
$x=-5a-4,\ 3a+4$
である。
ただし、問題の条件より、$G$と$x$軸は相異なる２点で交わるので、
$-5a-4\neq 3a+4$
$a\neq-1$式Ｂ
でなければならない。

32
数直線と絶対値

これを式Ａに代入して、
$\left|(3a+4)-(-5a-4)\right|=4(a+1)^{2}\times 2$
$8\left|a+1\right|=4(a+1)^{2}\times 2$
$\left|a+1\right|=(a+1)^{2}$

$-5a-4$と$3a+4$のどちらが大きいか分からないので、絶対値がついている。
場合分けして絶対値をはずしてもいいんだけれど、面倒だし、左辺と右辺が同じ形なので両辺を２乗してみよう。
$(a+1)^{2}=(a+1)^{4}$
$(a+1)^{2}=A$とおくと、
$A=A^{2}$
$A^{2}-A=0$
$A(A-1)=0$
$A=0,\ 1$
$A$をもとにもどして、
$(a+1)^{2}=0,\ 1$

$(a+1)^{2}=0$のとき、
$a=-1$

$(a+1)^{2}=1$のとき、
$a^{2}+2a+1=1$
$a(a+2)=0$
$a=0,\ -2$

以上より、
$a=-2,\ -1,\ 0$
だけど、式Ｂより$a\neq-1$なので、
$a=-2,\ 0$
である。

解答シ：－, ス：２, セ：０