199
相関関係

$\mathrm{A}$の値は、平均値から計算するより、相関図にあって点数表にないデータを探した方が早い。
$(\mathrm{X},\ \mathrm{Y})=(5,\ 7)$の点が、点数表にないデータなので、
$\mathrm{A}=5$
$\mathrm{B}=7$
である。

解答ア：５, イ：７

$\mathrm{C},\ \mathrm{D},\ \mathrm{E}$は地味に計算しよう。

188
データの代表値

平均値は、$7$を仮平均にすると、
$$ \begin{align} \mathrm{C}&=7+\dfrac{\left(\begin{aligned}& 0+0+8+1-5\\&+3+4-4+3+0\end{aligned}\right)}{10}\\ &=7+\dfrac{10}{10}\\ &=8 \end{align} $$ となる。

解答ウ：８, エ：０

中央値は、データの小さい方から５番目と６番目の平均なので、$7$と$8$の平均。
よって、
$\mathrm{D}=7.5$
である。

解答オ：７, カ：５

分散は、平均値が整数なので、$\overline{x^{2}}-\left(\overline{x}\right)^{2}$をするよりも、定義通り求めた方が楽かも。

復習

分散の定義は、
「偏差の２乗の平均」
つまり、
$\dfrac{(\text{値-平均})^{2}\text{の和}}{\text{データの大きさ}}$
だった。

193
分散と標準偏差

なので、
$\mathrm{E}=\dfrac{1}{10}\left\{\begin{aligned}&(7-8)^{2}+(7-8)^{2}\\&+(15-8^{2})+(8-8^{2})\\&+(2-8^{2})+(10-8^{2})\\&+(11-8^{2})+(3-8^{2})\\&+(10-8^{2})+(7-8^{2})\end{aligned}\right\}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\mathrm{E}}&=\dfrac{\left(\begin{aligned}& 1+1+49+0+36\\&+4+9+25+4+1\end{aligned}\right)}{10}\\ &=\dfrac{130}{10} \end{align} $$

$\phantom{\mathrm{E}}=13$
である。

解答キ：１, ク：３, ケ：０, コ：０

$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の相関については、選択肢が ０正の相関関係がある １相関関係はほとんどない ２負の相関関係がある とおおざっぱなので、相関係数を求めるまでもない。
相関図の点が、左下から右上に連なっているように見えるので、正の相関がある。

解答サ：０

10人の$x$の和を$S_{x}$、10人の$y$の和を$S_{y}$とすると、
$x$の平均値は、$\dfrac{S_{x}}{10}$。
$y$の平均値は、$\dfrac{S_{y}}{10}$。
また、10人の$v$の和は$S_{x}+S_{y}$なので、平均値は、
$\dfrac{S_{x}+S_{y}}{10}=\dfrac{S_{x}}{10}+\dfrac{S_{y}}{10}$
となる。
以上より、$v$の平均値$=x$の平均値$+y$の平均値。
よって、
$$ \begin{align} v\text{の平均値}&=9.0+8.0\\ &=17.0 \end{align} $$

解答シ：１, ス：７, セ：０

188
データの整理

$v$が平均以上の人数は数えるしかない。
問題用紙の得点表に書きたして表Ａをつくり、数えると、$v$が$17$以上は６人。

表Ａ

番号	ゲームX	ゲームY	$v$	$w$
1	8	7	15	1
2	10	7	17	3
3	13	15	28	-2
4	9	8	17	1
5	3	2	5	1
6	11	10	21	1
7	11	11	22	0
8	5	3	8	2
9	15	10	25	5
10	5	7	12	-2
平均値	9	8
中央値	9.5	7.5
分散	13	13

解答ソ：６

と、ここで$v$と$w$の相関係数を求めよという問題が来た。本番のセンター試験で、時間に余裕がなければ、この問題は捨てた方が吉。焦っているときに面倒な計算をすると間違えたりするし、動揺もする。頑張って時間を使っても３点だし、他で点をとった方が効率がいいです。

相関係数は、地道に計算するしかない。

復習

相関係数は、
$\text{共分散}s_{vw}=\dfrac{1}{n}\left\{\begin{aligned}&(v_{1}-\overline{v})(w_{1}-\overline{w})\\&+(v_{2}-\overline{v})(w_{2}-\overline{w})\\&+\cdots\\&+(v_{n}-\overline{v})(w_{n}-\overline{w})\end{aligned}\right\}$
を、それぞれの変数の標準偏差の積で割ったものだった。
一応確認すると、標準偏差は分散の正の平方根のこと。

199
相関係数

で、共分散から始めよう。
まず$v,\ w$の平均値を求め、それを使って生徒ごとに$v$の偏差$(v-\overline{v})$と$w$の偏差$(w-\overline{w})$を求め、さらに２つの偏差の積$(v-\overline{v})(w-\overline{w})$まで出したのが表Ｂである。

あとは、右端の列：$(v-\overline{v})(w-\overline{w})$の平均値を求めれば、それが共分散だ。

右端の列の和は、
$-33-5-9+32+15=0$
なので、平均値も$0$。
つまり、共分散は$0$である。
当然、共分散を標準偏差の積で割っても$0$。
よって、相関係数は$0$となる。

表Ｂ

	$v$	$w$	$v-\overline{v}$	$w-\overline{w}$	$(v-\overline{v})(w-\overline{w})$
1	15	1	-2	0	0
2	17	3	0	2	0
3	28	-2	11	-3	-33
4	17	1	0	0	0
5	5	1	-12	0	0
6	21	1	4	0	0
7	22	0	5	-1	-5
8	8	2	-9	1	-9
9	25	5	8	4	32
10	12	-2	-5	-3	15
平均値	17	1

解答チ：０, ツ：０, テ：０, ト：０

最後は標準偏差の大きさの問題だ。
標準偏差は、データの散らばりを表す値で、おおざっぱに言って「平均してどのくらい平均値からずれているか」を示している。
ちゃんと言うと、これは平均偏差の説明で標準偏差とはちょっと違うけど、センター試験対策としては大丈夫。
ここでは、標準偏差が大きいほど、データの散らばりが大きいということを憶えておこう。

で、相関図３を見ると、$v$の散らばりの方が$w$の散らばりよりもかなり大きい。
なので、
$S_{v} \gt S_{w}$
である。

解答ナ：１