大学入学共通テスト 2017年(平成29年) 問題例 マーク式 問題例４ 解説
はじめに
問題文のグラフ表示ソフトを再現してみた。
スライダーを動かしてイメージをつかんでみよう。
 |
 |
 |
 |
 |
 |
(1)
花子さんの発言の
直線$\mathrm{CS}$と円$\mathrm{O}_{1}$の交点のうち$\mathrm{S}$と異なる点を$\mathrm{D}$とおく
より、点$\mathrm{D}$は図Ａの赤い点。
ここでは、点$\mathrm{C}$と$\mathrm{S}$を通る直線が点$\mathrm{A}$を通る場合を考えている。
このとき、点$\mathrm{D}$が一致する点は
点$\mathrm{A}$
である。
解答ア：３
(2)
点$\mathrm{A}$も点$\mathrm{D}$も円$\mathrm{O}_{1}$上の点。
よって、弦$\mathrm{QS}$に関して$\mathrm{A}$と$\mathrm{D}$が同じ側にあれば、同じ弧に対する円周角なので
$\angle \mathrm{SAQ}=\angle \mathrm{SDQ}$
になる。
なので、正しい選択肢は
④
だ。
解答イ：４
(3)
四角形$\mathrm{AQPS}$は円に内接するので
$\angle \mathrm{ASP}+\angle \mathrm{AQP}=180^{\circ}$
また、$\angle \mathrm{AQB}=180^{\circ}$なので、
$\angle \mathrm{BQP}+\angle \mathrm{AQP}=180^{\circ}$
である。
なので、
$\angle \mathrm{ASP}=\angle \mathrm{BQP}$
となる。
解答ウ：２
と、ここまではあまり悩むことはないと思うんだけど、この先はちょっと考えないといけない。
図を見ながら考えよう。
図Ｂで、赤い丸はウで等しいことが分かった角。
色がついている角のは、選択肢にある角だ。
つまり、証明に使えるのは色がついている角だけ。
目標は、$\angle \mathrm{ASC}=180^{\circ}$を証明すること。
なので、$\angle \mathrm{CSP}$（図Ｂの青い角）は必ず使う。
これに気づけば、あとは簡単だ。
ウのときと同じように考えると、青い角と緑の角は等しい。
さらに、四角形$\mathrm{BRPQ}$は円に内接するから、緑の角と赤い角をたすと$180^{\circ}$だ。
この証明を、エオカキに当てはめればよい。
以上より、問題文に当てはめて証明をつくると、次のようになる。
四角形$\mathrm{CSPR}$は円$\mathrm{O}_{3}$に内接するので、
$\angle \mathrm{CSP}$（図Ｂの青い角）$=\angle \mathrm{BRP}$（図Ｂの緑の角）
である。
解答エ：３, オ：５, カ：１
四角形$\mathrm{BRPQ}$は円$\mathrm{O}_{2}$に内接するので、
$\angle \mathrm{BQP}$（図Ｂの赤い角）$+\angle \mathrm{BRP}$（緑の角）$=180^{\circ}$
である。
解答キ：２
(4)
点$\mathrm{A}$が円$\mathrm{O}_{2}$内部にある場合、例えば図Ｃのような図形ができる。
赤い角は、(3)で証明に使った$\angle \mathrm{ASP}$，$\angle \mathrm{BQP}$，$\angle \mathrm{CSP}$，$\angle \mathrm{BRP}$だ。
図中に赤い角が３つしかないのは、点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{S}$が一直線上にあるとき、$\angle \mathrm{ASP}$と$\angle \mathrm{CSP}$は同じ角だから。
図Ｃを見ると、赤い角は全部同じ角度っぽい。
赤い角が同じ角度だっていうことから$\angle \mathrm{ASP}=\angle \mathrm{CSP}$にもってゆけば、点$\mathrm{C}$と$\mathrm{S}$を通る直線が点$\mathrm{A}$を通ると証明できそうだ。
この方針で行ってみよう。
以下、図Ｄ，図Ｅ，図Ｆは、図Ｃの中心部を抜き出したものだ。
また、解説中の下線部は、問題文の証明の下線部に対応している。
問題文の証明の通り、$\angle \mathrm{ASP}$から始める。
図Ｄの赤い２つの角は、緑の円について、(a)同じ弧の円周角なので等しい。
よって、
$\angle \mathrm{ASP}=$(b)$\angle \mathrm{BQP}$
である。
問題文の証明をこれと同じにするには、(a)は修正しないといけないけど、(b)はそのままでいい。
図Ｅの赤い２つの角は、緑の円について、(c)同じ弧の円周角なので等しい。
よって、
(d)$\angle \mathrm{CSP}$$=\angle \mathrm{BRP}$
である。
問題文の証明をこれと同じにするには、(c)は修正しないといけないけど、(d)はそのままでいい。
図Ｆの赤い２つの角は、緑の円について、(e)同じ弧の円周角なので等しい。
よって、
(f)$\angle \mathrm{BQP}=\angle \mathrm{BRP}$
である。
問題文の証明をこれと同じにするには、(e)，(f)は修正しないといけない。
よって、(g)$\angle \mathrm{ASP}=\angle \mathrm{CSP}$なので、３点$\mathrm{C}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{A}$は一直線上にある。
なので、(g)も修正しないといけない。
以上より、修正が必要なのは
(a)，(c)，(e)，(f)，(g)
の５か所だ。
これに当てはまるのは、選択肢の
③
である。
解答ク：３