(ii)

電線は、図Ｂの赤い点の位置にある。
なので、アームの角度が図中の$\alpha$より大きければ、アームは電線の上側にある。
というわけで、角度$\alpha$を求めよう。

図Ｂの緑の三角形は直角三角形で、
底辺は$2$ｍ 高さは$(5-1.8)$ｍ$=3.2$ｍ なので、
$\displaystyle \tan\alpha=\frac{3.2}{2}$
$\tan\alpha$$=1.6$
である。

三角比の表を見ると、
$\tan 57^{\circ}=1.5399$ $\tan 58^{\circ}=1.6003$ なので、
$57^{\circ} \lt \alpha \lt 58^{\circ}$
であることが分かる。

よって、選択肢のうち$\alpha$より角度が大きいのは
④，⑤，⑥，⑦
の４つで、アームの角度がこの４つの場合にアームは電線の上側にある。

解答コ：４，５，６，７

(i)

(2)は、アームが曲がる問題だ。

図Ｃの状態のとき、$\angle \mathrm{CBA}$（赤い角度）を求めよという。

図Ｃのままだと見にくいので、図中の緑の三角形を取り出して図Ｄにしてみた。

図の固定

図Ｄのように、辺$\mathrm{BC}$の延長に 点$\mathrm{A}$から垂線を下ろし、その足を点$\mathrm{H}$とする。

このとき、△$\mathrm{ACH}$は辺の比が$1:2:\sqrt{3}$の直角三角形なので、
$\displaystyle \mathrm{CH}=\frac{3}{2}$ $\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ である。

なので、△$\mathrm{ABH}$は、
$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle \mathrm{BH}=5+\frac{3}{2}$ の直角三角形であることが分かる。

よって、求める$\angle \mathrm{CBA}$について、
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{CBA}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{5+\frac{3}{2}}$
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{CBA}$$\displaystyle =\frac{3\sqrt{3}}{13}$
となる。

$\sqrt{3}\doteqdot 1.73$なので、これは
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{CBA}\doteqdot\frac{3\times 1.73}{13}$
$\tan\angle \mathrm{CBA}$$\doteqdot 0.3992\ldots$
くらいの数だ。

三角比の表を見ると、
$\tan 21^{\circ}=0.3839$ $\tan 22^{\circ}=0.4040$ なので
$21^{\circ} \lt \angle \mathrm{CBA} \lt 22^{\circ}$
である。

よって、選択肢のうち
③
の$22^{\circ}$が最も近い。

解答サ：３

(ii)

さらに、図Ｆの状態のとき、線分$\mathrm{DD}'$（赤い線分）の長さを$\theta_{1}$，$\theta_{2}$を使って表せという。

図Ｆの青い四角の部分を抜き出すと、図Ｇができる。

図の固定

図Ｇ中の、
点$\mathrm{E}$，$\mathrm{E}'$は、点$\mathrm{C}$を通る$\mathrm{BD}$と平行な直線と、$\mathrm{AD}$，$\mathrm{A}'\mathrm{D}'$の交点 青い円は、点$\mathrm{C}$を中心とする半径$3$の円 である。

このとき、
$\mathrm{BD}\parallel \mathrm{CE}$，$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{A}'\mathrm{D}'$なので、
$\mathrm{DD}'=\mathrm{EE}'$
だから、$\mathrm{EE}'$（図Ｇの赤い線分）の長さを$\theta_{1}$，$\theta_{2}$で表せばよい。

$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ACE}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{E}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}$
より
$\mathrm{CE}=\mathrm{AC}\cos\angle \mathrm{ACE}$
だけど、
$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{ACE}=\theta_{2}-\theta_{1}$
なので、
$\mathrm{CE}=3\cos(\theta_{2}-\theta_{1})$式Ａ
である。

また、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{A}'\mathrm{CE}'=\frac{\mathrm{C}\mathrm{E}'}{\mathrm{A}'\mathrm{C}}$
より
$\mathrm{CE}'=\mathrm{A}'\mathrm{C}\cos\angle \mathrm{A}'\mathrm{CE}'$
だけど、
$\mathrm{A}'\mathrm{C}=3$，$\angle \mathrm{A}'\mathrm{CE}'=\theta_{2}$
なので、
$\mathrm{CE}'=3\cos\theta_{2}$式Ｂ
である。

ここで、$\mathrm{EE}'$は
$\mathrm{EE}'=\mathrm{CE}-\mathrm{CE}'$
とかける。
これに式Ａ，式Ｂを代入して、
$\mathrm{EE}'=3\cos(\theta_{2}-\theta_{1})-3\cos\theta_{2}$
となるから、
$\mathrm{DD}'=3\cos(\theta_{2}-\theta_{1})-3\cos\theta_{2}$
である。

解答い：$3\cos(\theta_{2}-\theta_{1})-3\cos\theta_{2}$