大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 問題例 記述式を含む 問題例1 [3] 解説

(1)

(i)

図A
大学入学共通テスト2018年 記述式を含む 問題例1[3] 解説図A

問題の条件を満たすとき、クレーンは図Aのような状態になっている。

図中の緑の三角形は、辺の比が
$1:2:\sqrt{3}$
の直角三角形なので、このときのアームの角度は
$60^{\circ}$
である。

解答ク:6, ケ:0


(ii)

図B
大学入学共通テスト2018年 記述式を含む 問題例1[3] 解説図B

電線は、図Bの赤い点の位置にある。
なので、アームの角度が図中の$\alpha$より大きければ、アームは電線の上側にある。
というわけで、角度$\alpha$を求めよう。

図Bの緑の三角形は直角三角形で、
底辺は$2$m 高さは$(5-1.8)$m$=3.2$m なので、
$\displaystyle \tan\alpha=\frac{3.2}{2}$
$\tan\alpha$$=1.6$
である。

三角比の表を見ると、
$\tan 57^{\circ}=1.5399$ $\tan 58^{\circ}=1.6003$ なので、
$57^{\circ} \lt \alpha \lt 58^{\circ}$
であることが分かる。

よって、選択肢のうち$\alpha$より角度が大きいのは
④,⑤,⑥,⑦
の4つで、アームの角度がこの4つの場合にアームは電線の上側にある。

解答コ:4,5,6,7

(2)

(i)

図C
大学入学共通テスト2018年 記述式を含む 問題例1[3] 解説図C

(2)は、アームが曲がる問題だ。

図Cの状態のとき、$\angle \mathrm{CBA}$(赤い角度)を求めよという。

図Cのままだと見にくいので、図中の緑の三角形を取り出して図Dにしてみた。

図D
大学入学共通テスト2018年 記述式を含む 問題例1[3] 解説図D

図Dのように、辺$\mathrm{BC}$の延長に 点$\mathrm{A}$から垂線を下ろし、その足を点$\mathrm{H}$とする。

このとき、△$\mathrm{ACH}$は辺の比が$1:2:\sqrt{3}$の直角三角形なので、
$\displaystyle \mathrm{CH}=\frac{3}{2}$ $\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ である。

なので、△$\mathrm{ABH}$は、
$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle \mathrm{BH}=5+\frac{3}{2}$ の直角三角形であることが分かる。

よって、求める$\angle \mathrm{CBA}$について、
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{CBA}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{5+\frac{3}{2}}$
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{CBA}$$\displaystyle =\frac{3\sqrt{3}}{13}$
となる。


$\sqrt{3}\doteqdot 1.73$なので、これは
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{CBA}\doteqdot\frac{3\times 1.73}{13}$
$\tan\angle \mathrm{CBA}$$\doteqdot 0.3992\ldots$
くらいの数だ。

三角比の表を見ると、
$\tan 21^{\circ}=0.3839$ $\tan 22^{\circ}=0.4040$ なので
$21^{\circ} \lt \angle \mathrm{CBA} \lt 22^{\circ}$
である。

よって、選択肢のうち

の$22^{\circ}$が最も近い。

解答サ:3

別解

計算は少し多くなるけど、余弦定理と正弦定理を使っても解ける。

図E
大学入学共通テスト2018年 記述式を含む 問題例1[3] 解説図E

図Eの緑の三角形に余弦定理を使うと、
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{BC}\cos 120^{\circ}$
途中式 より
$\mathrm{AB}^{2}=3^{2}+5^{2}-2\cdot 3\cdot 5\left(-\frac{1}{2}\right)$
$\mathrm{AB}^{2}$$=3^{2}+5^{2}+3\cdot 5$
$\mathrm{AB}^{2}$$=49$
なので
$\mathrm{AB}=7$
である。

同じ三角形に正弦定理を使うと、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}}$
途中式 より
$\displaystyle \frac{3}{\sin\angle \mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{A}}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\displaystyle \frac{3}{\sin\angle \mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{A}}$$\displaystyle =\frac{2\cdot 7}{\sqrt{3}}$
$\displaystyle \frac{\sin\angle \mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{A}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2\cdot 7}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{CBA}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$
となる。


$\sqrt{3}\doteqdot 1.73$なので、これは
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{CBA}\doteqdot\frac{3\times 1.73}{14}$
$\sin\angle \mathrm{CBA}$$\doteqdot 0.3707\ldots$
くらいの数だ。

三角比の表を見ると、
$\sin 21^{\circ}=0.3584$ $\sin 22^{\circ}=0.3746$ なので
$21^{\circ} \lt \angle \mathrm{CBA} \lt 22^{\circ}$
である。

よって、選択肢のうち

の$22^{\circ}$が最も近い。

解答サ:3


(ii)

図F
大学入学共通テスト2018年 記述式を含む 問題例1[3] 解説図F

さらに、図Fの状態のとき、線分$\mathrm{DD}'$(赤い線分)の長さを$\theta_{1}$,$\theta_{2}$を使って表せという。

図Fの青い四角の部分を抜き出すと、図Gができる。

図G
大学入学共通テスト2018年 記述式を含む 問題例1[3] 解説図G

図G中の、
点$\mathrm{E}$,$\mathrm{E}'$は、点$\mathrm{C}$を通る$\mathrm{BD}$と平行な直線と、$\mathrm{AD}$,$\mathrm{A}'\mathrm{D}'$の交点 青い円は、点$\mathrm{C}$を中心とする半径$3$の円 である。

このとき、
$\mathrm{BD}\parallel \mathrm{CE}$,$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{A}'\mathrm{D}'$なので、
$\mathrm{DD}'=\mathrm{EE}'$
だから、$\mathrm{EE}'$(図Gの赤い線分)の長さを$\theta_{1}$,$\theta_{2}$で表せばよい。


$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ACE}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{E}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}$
より
$\mathrm{CE}=\mathrm{AC}\cos\angle \mathrm{ACE}$
だけど、
$\mathrm{AC}=3$,$\angle \mathrm{ACE}=\theta_{2}-\theta_{1}$
なので、
$\mathrm{CE}=3\cos(\theta_{2}-\theta_{1})$式A
である。

また、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{A}'\mathrm{CE}'=\frac{\mathrm{C}\mathrm{E}'}{\mathrm{A}'\mathrm{C}}$
より
$\mathrm{CE}'=\mathrm{A}'\mathrm{C}\cos\angle \mathrm{A}'\mathrm{CE}'$
だけど、
$\mathrm{A}'\mathrm{C}=3$,$\angle \mathrm{A}'\mathrm{CE}'=\theta_{2}$
なので、
$\mathrm{CE}'=3\cos\theta_{2}$式B
である。

ここで、$\mathrm{EE}'$は
$\mathrm{EE}'=\mathrm{CE}-\mathrm{CE}'$
とかける。
これに式A,式Bを代入して、
$\mathrm{EE}'=3\cos(\theta_{2}-\theta_{1})-3\cos\theta_{2}$
となるから、
$\mathrm{DD}'=3\cos(\theta_{2}-\theta_{1})-3\cos\theta_{2}$
である。

解答い:$3\cos(\theta_{2}-\theta_{1})-3\cos\theta_{2}$