数学Ⅰ ： 数と式 命題の真偽と必要条件・十分条件
例題
下の(1)～(5)の場合について、
ＡであることはＢであるための １.必要条件 ２.十分条件 ３.必要十分条件 ４.必要条件でも十分条件でもない のいずれにあたるか答えなさい。
また、命題「ＡであればＢである」の真偽と、偽の場合は反例をひとつ答えなさい。
(1)．全体集合を整数とするとき、
Ａ.３の倍数 かつ 奇数
Ｂ.３の倍数 または 偶数
(2)．$m$，$n$を整数とするとき、
Ａ.$mn$は偶数である
Ｂ.$m+n$は偶数である
(3)．全体集合を８以下の自然数とするとき、
Ａ.３以下 または 素数
Ｂ.奇数
(4)．$x$を実数とするとき、
Ａ.$x^{2}-2x-3\leqq 0$
Ｂ.$\left\{\begin{array}{l} x^{2}\leqq 9\\ 3x+5\geqq 2 \end{array}\right.$
(5)．$x$，$y$を実数とするとき、
Ａ.$x^{2}+y^{2}\leqq 1$
Ｂ.$|x|+|y|\leqq 1$
アドバイス
必要条件・十分条件の問題は、一般的には
$p\Rightarrow q$ ×
$p\Leftarrow q$ ○
なので、必要条件
って解くことが多いけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。なので、図や表で表せるときは、集合の大小で考える方がおすすめ。
必要条件・十分条件と集合
図Ａで、
$p$は$q$の必要条件
$q$は$p$の十分条件
である。
つまり、片方の集合がもう片方に含まれるとき、
大きい集合は小さい集合の必要条件
小さい集合は大きい集合の十分条件
である。
「大は小の必要条件・小は大の十分条件。」
呪文のように憶えておこう。
図Ｂのようにふたつの集合が等しい場合は、必要十分条件となる。
図Ｃのように、片方がもう片方を含むような関係でない場合には、必要条件でも十分条件でもない。
さらに、命題の真偽と集合の関係も復習しておこう。
命題の真偽と集合
命題「仮定であれば結論である」について、
仮定 が 結論 に含まれていれば真
仮定 が 結論 からはみ出していれば偽
である。
つまり、仮定の集合を赤、結論の集合を青とすると、命題が真になるのは図Ｄのような場合である。
また、命題が偽になるのは図Ｅのような場合である。
反例は、仮定に含まれるけれど結論には含まれない部分にあたる。
なので、図Ｅの、赤い斜線はあるけど青い斜線がない部分が反例だ。
こんな感じで、集合の図や表から考えると効果的な場合がよくある。
とは言っても、適切な図や表をすぐに思いつくのは難しいかも。でも、いろいろな図や表のかきかたを知っていれば、まねすることは難しくない。
なので、ここでは、こんなかきかたがあるってことを知ってもらえればいいです。
(1)
Ａ.３の倍数 かつ 奇数 Ｂ.３の倍数 または 偶数
図Ｆのようなベン図をかくと、
Ａの集合は、オレンジの斜線の範囲のうち、緑の斜線がない部分。
つまり、図Ｇの赤い部分。
Ｂの集合は、図Ｆのオレンジの斜線の部分または緑の斜線の部分。
つまり、図Ｈの青い部分。
図Ｇと図Ｈを重ねると、図Ｉができる。
図Ｉを見ると、赤い部分（Ａの集合）が青い部分（Ｂの集合）に含まれている。
「小は大の十分条件」なので、十分条件。
また、仮定（赤い部分）が結論（青い部分）に含まれている。
よって、命題は真である。
解答２，真
(2)
Ａ.$mn$は偶数である Ｂ.$m+n$は偶数である
整数$m$，$n$を偶数と奇数に分けて考えると、表Ｊができる。
| $m$ | |||
|---|---|---|---|
| 偶数 | 奇数 | ||
| $n$ | 偶数 | ||
| 奇数 | |||
$m$，$n$の一方でも偶数であれば$mn$は偶数になるので、Ａの集合の範囲は表Ｋの赤い範囲。
| $m$ | |||
|---|---|---|---|
| 偶数 | 奇数 | ||
| $n$ | 偶数 | ||
| 奇数 | |||
たして偶数になるのは、偶数＋偶数のときと、奇数＋奇数のとき。なので、Ｂの集合の範囲は表Ｌの青い範囲。
| $m$ | |||
|---|---|---|---|
| 偶数 | 奇数 | ||
| $n$ | 偶数 | ||
| 奇数 | |||
表Ｋと表Ｌを重ねると、表Ｍができる。
| $m$ | |||
|---|---|---|---|
| 偶数 | 奇数 | ||
| $n$ | 偶数 | ||
| 奇数 | |||
表Ｍを見ると、どちらの集合も他方を含んでいない。
なので、必要条件でも十分条件でもない。
命題も偽である。反例は仮定（赤い部分）が結論（青い部分）からはみ出している部分から、何かひとつ答えればよい。
解答４，偽（反例：$m=1$，$n=2$）
(3)
Ａ.３以下 または 素数 Ｂ.奇数
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ａ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | |||
| Ｂ | ○ | ○ | ○ | ○ |
全体集合は８つの要素しかないので、全部書いた。
表Ｎより、Ａの集合がＢの集合を含んでいる。
「大は小の必要条件」なので、必要条件。
また、仮定（赤い部分）が結論（青い部分）からはみ出している。
よって命題は偽で、反例ははみ出した部分の$2$である。
解答１，偽（反例：$2$）
(4)
Ａ.$x^{2}-2x-3\leqq 0$ Ｂ.$\left\{\begin{array}{l} x^{2}\leqq 9\\ 3x+5\geqq 2 \end{array}\right.$
Ａの不等式を解いて、
$(x+1)(x-3)\leqq 0$
$-1\leqq x\leqq 3$
これを数直線に表すと、図Ｏの赤い範囲になる。
Ｂの連立不等式を解いて、
$x^{2}\leqq 9$
$-3\leqq x\leqq 3$
$3x+5\geqq 2$
$-1\leqq x$
これを数直線に表すと、図Ｐの青い範囲になる。
図Ｏと図Ｐを見比べると、Ａの集合とＢの集合は等しい。
なので、必要十分条件で、命題も真である。
解答３，真
(5)
Ａ.$x^{2}+y^{2}\leqq 1$ Ｂ.$|x|+|y|\leqq 1$
アドバイス
二つの実数の変数（この問題では$x$，$y$）の関係を図にしようとすると、どうしても数Ⅱで学習する「領域」になってしまう。入試で数ⅠＡしか必要ない人には申し訳ないんだけれど、領域で解く方法が合理的なので、ここでは数Ⅱの範囲に入って説明する。
Ａの集合からはじめよう。
$x^{2}+y^{2}=1$は原点中心で半径1の円。
なので、$x^{2}+y^{2}\leqq 1$は、その円の円周上および内部になるから、図Ｑの赤い範囲にあたる。ただし、境界線を含む。
次は、Ｂの集合だ。
$x$，$y$ともに負のときと0以上のときに場合分けをして、絶対値をはずしたものが表Ｒである。
| $x$ | |||
|---|---|---|---|
| $x \lt 0$ | $0\leqq x$ | ||
| $y$ | $0\leqq y$ | $-x+y\leqq 1$ | $x+y\leqq 1$ |
| $y \lt 0$ | $-x-y\leqq 1$ | $x-y\leqq 1$ | |
表Ｒの緑の部分の場合、
$x+y\leqq 1$
は
$y\leqq-x+1$
と変形できる。この場合の領域は、場合分け$0\leqq x$，$0\leqq y$とあわせて、連立不等式
$\left\{\begin{array}{l}
0\leqq x\\
0\leqq y\\
y\leqq-x+1
\end{array}\right.$
が表す領域であるから、図Ｓのようになる。ただし、境界線を含む。
同じことを他の場合分けでも繰り返すと、Ｂの集合の表す領域は図Ｔの青い範囲になることが分かる。ただし、境界線を含む。
図Ｑと図Ｔを重ねると、図Ｕができる。
図Ｕを見ると、赤い部分（Ａの集合）が青い部分（Ｂの集合）を含んでいる。
「大は小の必要条件」なので、必要条件。
また、仮定（赤い部分）が結論（青い部分）からはみ出しているので、命題は偽だ。
反例は はみ出した赤い部分のどこでもいいんだけど、例えば図Ｕの点Ａを考えると、座標は
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
なので、
$x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
となる。
解答１，偽（反例：$x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$）