数学Ⅱ : 微分法と積分法 $ \frac{1}{6}$公式の利用

例題

$y=\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-1$のグラフを$C$,$y=\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$のグラフを$\ell$とするとき、$C$,$\ell$と$y$軸で囲まれた図形のうち、$1\leqq x$の部分の面積を求めなさい。

アドバイス

最初に、$\displaystyle \frac{1}{6}$公式の復習をしておこう。
$\displaystyle \frac{1}{6}$公式は定積分の計算を簡単にする方法で、

公式

$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$

だった。

これだけじゃ分かりにくいので、ちょっと補足しておく。

6分の1公式の利用 解説図

図のような、2次関数と直線、または2次関数と2次関数で囲まれたオレンジ色の部分の面積$S$が
$S=a\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x^{2}+bx+c)dx$
の形で表せるときを考える。

この式は必ず
$S=a\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx$
と因数分解でき、さらに$\displaystyle \frac{1}{6}$公式によって
$\displaystyle S=a\cdot\left\{-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}\right\}$
とかける。

この$\displaystyle \frac{1}{6}$公式が使えると、積分の計算がとても楽になる。なので、$\displaystyle \frac{1}{6}$公式が使える形に持ってゆくことがポイントだ。

問題を解く準備

問題を解く前に、まずグラフを描こう。

$C$の式は
$y=\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-1$
$y\displaystyle $$\displaystyle=\frac{1}{2}(x^{2}-x-2)$
$y\displaystyle $$\displaystyle=\frac{1}{2}(x+1)(x-2)$式A
と因数分解できるので、$C$は$x$軸と$(-1,0)(2,0)$で交わる。

$C$の式と$\ell$の式を連立方程式にして解くと、式Aより、
$\displaystyle \frac{1}{2}(x+1)(x-2)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ 途中式 $\displaystyle \frac{1}{2}(x+1)(x-2)=\frac{1}{2}(x+1)$
$(x+1)(x-2)-(x+1)=0$
$(x+1)\{(x-2)-1\}=0$
$(x+1)(x-3)=0$
となるので、$C$と$\ell$は$x=-1,3$で交わる。

以上より、$C$と$\ell$のグラフは図Aのようになる。

図A
6分の1公式の利用 解説図A

グラフが出来たところで、問題を解こう。

解法1

面積を求める図形は、図Bの赤い線で囲んだ範囲だ。この面積を$S$とする。

図B
6分の1公式の利用 解説図B

普通に積分して解くと、こんな感じになる。

$S=\displaystyle \int_{1}^{3}\left\{\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-1\right)\right\}dx$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\int_{1}^{3}\frac{1}{2}\{(x+1)-(x^{2}-x-2)\}dx$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{1}^{3}(x+1-x^{2}+x+2)dx$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{1}^{3}(-x^{2}+2x+3)dx$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\frac{1}{2}\left[-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+3x\right]_{1}^{3}$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}[-x^{3}+3x^{2}+9x]_{1}^{3}$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\frac{1}{6}\{(-3^{3}+3\cdot 3^{2}+9\cdot 3)-(-1+3+9)\}$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\frac{1}{6}(27-11)$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\frac{16}{6}$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\frac{8}{3}$

解答$\displaystyle \frac{8}{3}$

解法2

次に、面積を求める図形を図Cのように分解してみよう。

図C
6分の1公式の利用 解説図C

緑色の部分の面積を$T$,空色の部分の面積を$U$とすると、問題の面積$S$は
$S=T+U$式B
である。

$T$は底辺$1-(-1)=2$,高さ$3-1=2$の三角形の面積なので、
$T=\displaystyle \frac{1}{2}\times 2\times 2=2$式C

$U$は積分して求めるのだけど、$\displaystyle \frac{1}{6}$公式が使える。
図Cの緑の直線を$m$とし、グラフの式を$y=ax+b$とする。$a$,$b$の値を求める必要はない。

$U$は$C$と$m$に囲まれた部分の面積なので、
$U=\displaystyle \int_{1}^{3}\left\{(ax+b)-\left(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-1\right)\right\}dx$
$U\displaystyle $$\displaystyle=\int_{1}^{3}\frac{1}{2}\{(2ax+b)-(x^{2}-x-2)\}dx$
$U\displaystyle $$\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{1}^{3}(2ax+b-x^{2}+x+2)dx$
$U\displaystyle $$\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{1}^{3}\{-x^{2}+(2a+1)x+(2+b)\}dx$
$U\displaystyle $$\displaystyle=-\frac{1}{2}$$\displaystyle \int_{1}^{3}\{x^{2}-(2a+1)x-(2+b)\}dx$
この式の赤い部分には$\displaystyle \frac{1}{6}$公式が使える。よって、
$U\displaystyle $$\displaystyle=-\frac{1}{2}\cdot\left\{-\frac{1}{6}(3-1)^{3}\right\}$
$U\displaystyle $$\displaystyle=\frac{2^{3}}{2\cdot 6}$
$U\displaystyle $$\displaystyle=\frac{2}{3}$式D

式B,C,Dより、
$S=2+\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$
である。

解答$\displaystyle \frac{8}{3}$

アドバイス

今回は積分区間の両端が整数だったので、解法1と解法2であまり計算量の差が出なかった。
しかし、区間端が分数なんかだったりすると、解法1のように真っ正直に解くと、大変な計算をするはめになることが多い。
なので、二次関数や直線で囲まれた面積を求める場合には、$\displaystyle \frac{1}{6}$公式が使える形にもってゆけないか、考える習慣を身につけてほしい。

解法3

実はこの問題に限っては、もっと簡単な解法がある。
一応解説するけれど、使える場合が非常に限られるので、センター試験だけ解ければいいひとは読まなくていいです。

図Dを見てもらうと、$S$の左端は直線$x=1$だけど、この$x=1$は$C$と$\ell$の2つの交点の$x$座標のちょうど真ん中だ。二次関数と直線に囲まれた図形の場合に限り、このような直線は図形の面積を二等分する。つまり、図Dの赤で囲んだ部分の面積は、オレンジの部分の面積の半分である。

図D
6分の1公式の利用 解説図D

これが分かれば話は簡単。
オレンジの部分の面積を$V$とすると、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}V$
なので、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\int_{-1}^{3}\left\{\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-1\right)\right\}dx$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{-1}^{3}\frac{1}{2}\{(x+1)-(x^{2}-x-2)\}dx$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int_{-1}^{3}(x+1-x^{2}+x+2)dx$
$S\displaystyle $$\displaystyle=-\frac{1}{4}$$\displaystyle \int_{-1}^{3}(x^{2}-2x-3)dx$
この式の赤い部分には$\displaystyle \frac{1}{6}$公式が使える。よって、
$S\displaystyle $$\displaystyle=-\frac{1}{4}\cdot\left\{-\frac{1}{6}\{3-(-1)\}^{3}\right\}$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\frac{4^{3}}{4\cdot 6}$
$S\displaystyle $$\displaystyle=\frac{8}{3}$
である。

解答$\displaystyle \frac{8}{3}$

アドバイス

この方法は、
図形が2次関数と直線で出来ていること 積分範囲が、図形の$x$方向の真ん中から端っこまで のときしか使えないことに注意してほしい。