数Ⅱの範囲でよく見る公式のひとつに、いわゆる$\displaystyle \frac{1}{6}$公式

があった。

これは、図Ａのような面積を求めるときに使うことが多い。

図の固定

この公式について、もう少し考えてみよう。

図Ａのように、２次関数と直線、または２次関数と２次関数で囲まれた面積$S$は
$S=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}($赤い線の式$-$青い線の式$)dx$
$\phantom{ S\displaystyle } \displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}$二次式$dx$式Ａ
と表せる。

この二次式を
$ax^{2}+bx+c$
とおくと、式Ａは
$S=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(ax^{2}+bx+c)dx$
より
$S=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)dx$
$\phantom{ S\displaystyle } \displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx$
と変形できる。

これに$\displaystyle \frac{1}{6}$公式を使うと、面積$S$は
$\displaystyle S=a\cdot\left\{-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}\right\}$
$\phantom{ S\displaystyle } \displaystyle =-\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^{3}$式Ｂ
となる。

式Ｂを見ると、面積$S$は、
$a$ と$(\beta-\alpha)$だけで決まる ことが分かる。

このうち、$a$は 式Ａの二次式の$x^{2}$の係数だった。
$\beta-\alpha$は、積分する範囲の$x$座標の幅だ。

このことから、
積分する式の$x^{2}$の係数が等しく 積分する範囲の幅も等しい ときには面積が等しくなることが分かる。

特に、$x^{2}$の係数が等しい放物線と直線に囲まれた部分の面積を考えるとき、囲まれた部分の$x$方向の幅が等しいときには、面積も等しい。

この性質は、使える場面が意外に多い。

例えば図Ｂのような場合を考えよう。

図の固定

図中の放物線の式を
$y=ax^{2}+bx+c$
とする。

図Ｂの青い部分の面積は、
青$=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{$赤い直線の式$-(ax^{2}+bx+c)$$\}dx$
とかけるけど、赤い直線の式は一次式なので、この式の赤い部分は
一次式$-(ax^{2}+bx+c)$
$=-ax^{2}+\cdots$
と表せる。
一次以下の項は、省略して$\cdots$とした。

なので、青い部分の面積は、
青$=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(-ax^{2}+\cdots)dx$
青$\displaystyle =-a\int_{\alpha}^{\beta}(x^{2}+\cdots)dx$
これに$\displaystyle \frac{1}{6}$公式を使って
青$=\displaystyle \frac{a}{6}(\beta-\alpha)^{3}$式Ｃ
となる。

同様に、オレンジの部分の面積は、
オレンジ$=\displaystyle \int_{\gamma}^{\delta}\{$紫の直線の式$-(ax^{2}+bx+c)\}dx$
オレンジ$\displaystyle =-a\int_{\gamma}^{\delta}(x^{2}+\cdots)dx$
オレンジ$\displaystyle =\frac{a}{6}(\delta-\gamma)^{3}$式Ｄ
黄色い部分の面積は、
黄$=\displaystyle \int_{\epsilon}^{\zeta}\{$緑の直線の式$-(ax^{2}+bx+c)\}dx$
黄$\displaystyle =-a\int_{\epsilon}^{\zeta}(x^{2}+\cdots)dx$
黄$\displaystyle =\frac{a}{6}(\zeta-\epsilon)^{3}$式Ｅ
となる。

いま、
$\beta-\alpha=\delta-\gamma=\zeta-\epsilon$
なので、式Ｃ，式Ｄ，式Ｅの値はすべて等しい。
つまり、図Ｂの色のついた部分の面積はすべて等しい。

ふたつ目の例として、図Ｃのようなグラフを考える。
放物線はすべて$x^{2}$の係数が等しいとする。
このとき、オレンジの部分の面積はすべて等しい。
（説明は省略）

図の固定

と、ここまで復習できたところで、例題を解く。

最初に図を描こう。

ふたつの放物線の交点の$x$座標は、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
y=x^{2}-3x+3\\
y=x^{2}+1
\end{array}\right.$
を解いて、
$x^{2}-3x+3=x^{2}+1$
より
$-3x+2=0$
$x=\displaystyle \frac{2}{3}$
である。

また、それぞれの放物線の$y$軸との交点の$y$座標は、それぞれの式に$x=0$を代入して、
$y=x^{2}-3x+3$が$y=3$ $y=x^{2}+1$が$y=1$ である。

なので、ふたつの放物線の交点を点$A$、それぞれの放物線と$y$軸との交点を点$B$，点$C$として図を描くと、図Ｄができる。

図の固定

いま問われているのは、図中の青い部分の面積だ。

復習より、図Ｄの黄色い部分の面積と斜線部の面積は等しい。

よって、
青$+$黄$-$斜線部$=$赤い三角形$ABC$
より、
青$=$赤い三角形$ABC$
であることが分かる。

ということで、青い部分の面積の代わりに 赤い三角形$ABC$の面積を求めよう。

$BC$を底辺とすると、赤い三角形の
底辺の長さは $3-1=2$ 高さは $\displaystyle \frac{2}{3}$ なので、面積は
$\displaystyle \frac{1}{2}\times 2\times\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$
である。

よって、問われている青い部分の面積も
$\displaystyle \frac{2}{3}$
である。

解答$\displaystyle \frac{2}{3}$