等差数列

一般項と和

数列$\{a_{n}\}$の公差を$d$，初項から$n$項の和を$S_{n}$とすると、

一般項
$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

和
$S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n(a_{1}+a_{n})$

等差中項

$a$，$b$，$c$がこの順で等差数列のとき、
$a+c=2b$

等比数列

一般項と和

数列$\{a_{n}\}$の公比を$r$，初項から$n$項の和を$S_{n}$とすると、

一般項
$a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}$

和
$S_{n}=\displaystyle \frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}$

等比中項

$a\text{，}b\text{，}c$がこの順で等比数列のとき、
$ac=b^{2}$

Σの計算

$\alpha$，$r$を定数とする。

Σの性質

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha a_{k}=\alpha\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}\pm b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\pm \displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_{k}$

Σの公式

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha=n\alpha$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}r^{k}=\frac{r(1-r^{n})}{1-r}\ \ \ (r\neq 1)$

さまざまな数列

階差数列

$a_{n}=a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_{k} \hspace{30px} (2\leqq n)$

和から一般項を求める

$\left\{\begin{array}{l} a_{1}=S_{1}\\ a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\ (2\leqq n) \end{array}\right.$

分母が積で表された分数の数列の和

$\displaystyle \frac{1}{a_{n}(a_{n}+k)}=\frac{1}{k}\left\{\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n}+k}\right\}$
と表し、できた分数を$\pm$セットで消す。

$($等差数列$)\times($等比数列$)$ の和

$S_{n}$

$=$

$a_{1}b_{1}$

$+$

$a_{2}b_{2}$

$+$

$a_{3}b_{3}$

$+$

$\cdots$

$+$

$a_{n}b_{n}$

$-$ $)$

$rS_{n}$

$=$

$ra_{1}b_{1}$

$+$

$ra_{2}b_{2}$

$+$

$ra_{3}b_{3}$

$+$

$\cdots$

$+$

$ra_{n}b_{n}$

$(1-r)S_{n}$

$=$

$a_{1}b_{1}$

$+$

$d(b_{2}+b_{3}+\cdots+b_{n})$

$-$

$ra_{n}b_{n}$

群数列

例えば次のような表をつくり、ピンク色の部分を求める。

群		$1$	$2$		$3$			$\cdots$	$m$
$\{a_{n}\}$		$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	$a_{6}$	$\cdots$	$a_{?}$	$\cdots$	$a_{?}$	$\cdots$	$a_{n}$
	$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\cdots$	○	$\cdots$	○	$\cdots$	$n$
	値	○	○	○	○	○	○	$\cdots$	○	$\cdots$	○	$\cdots$	○
群の項数		$1$	$2$		$3$			$\cdots$	○

漸化式

$a_{n+1}=a_{n}+d$ →公差$d$の等差数列 $a_{n+1}=ra_{n}$ →公比$r$の等比数列 $a_{n+1}=a_{n}+f(n)$ →階差数列の一般項が$f(n)$ $a_{n+1}=pa_{n}+q$
→$a=pa+q$ より $a_{n+1}-a=p(a_{n}-a)$

数学的帰納法

① $n=1$のとき、与式が成り立つことを示す
② $n=k$のとき、与式が成り立つと仮定する
③ ②の式を使って、$n=k+1$のとき、与式が成り立つことを示す