数学B : 数列 群数列2

例題

数列
$\{a_{n}\}=3,6,6,9,9,9,12,12,12,12,15,\ldots$

$ 3|6,6|9,9,9|12,12,12,12|15,\ldots$
のように群に分けるとき、
(1)$a_{100}$の値を答えよ。
(2)$1000\leqq a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$となる最小の自然数$n$を求めよ。
(類:センター試験2003年本試)

アドバイス

各群に含まれる項がすべて同じ値の群数列の問題だ。
このタイプの問題は、実は群数列的な考え方をしなくても解ける。
けれど、定期テストや模試などでも群数列として出題されるので、以下群数列として解説した。
例によって表を使って解くから、まだ読んでない人は先に群数列のページを見てもらいたい。

問題を解く準備

例題の情報を、表Aにまとめた。
で、問題を解く前に、表Aのピンクのマスをうめよう。

表A
$1$ $2$ $3$ $\cdots$ $m$
$\{a_{n}\}$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $a_{4}$ $a_{5}$ $a_{6}$ $\cdots$ $a_{?}$ $\cdots$ $a_{?}$
$n$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $\cdots$ $\cdots$
$3$ $6$ $6$ $9$ $9$ $9$ $\cdots$ $\cdots$
群の 項数 $1$ $2$ $3$ $\cdots$
$\cdots$

まず①から始めよう。
ここに入るのは、第$m$群に含まれる項の数だ。
第$1$群が項数$1$,第$2$群が項数$2$,第$3$群が項数$3$なので、第$m$群は項数$m$だって考えられるから、①のマスには$m$を入れる。

それから、②。
第$1$群に含まれる項はすべて$3$ 第$2$群に含まれる項はすべて$6$ 第$3$群に含まれる項はすべて$9$ なので、
第$m$群に含まれる項はすべて$3m$ と考えられる。

ここまで求めたら、③の、群の項の和を計算しておこう。
群の項数は$m$ 項の値はすべて$3m$ なので、群の項の和は
$3m\times m=3m^{2}$
である。


次は、④。
第$m$群の末項の$n$、つまり第$m$群の末項が$\{a_{n}\}$の何項目にあたるかを考える。
第$m$群の末項の$n$は、$1$~$m$群に含まれる項数の和なので、
④$=1+2+3+4+\cdots+m$
④$\displaystyle $$\displaystyle =\sum_{k=1}^{m}k$
④$\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}m(m+1)$
である。

④が分かれば⑤は簡単だ。
第$m$群の初項は、第$(m-1)$群の末項の次の項。
第$(m-1)$群の末項は、④より
$\displaystyle \frac{1}{2}(m-1)m$
なので、
⑤$=\displaystyle \frac{1}{2}(m-1)m+1$
⑤$\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}(m^{2}-m+2)$
となる。

これまでの結果を書き込んで表を完成させたのが、表Bだ。

表B
$1$ $2$ $3$ $\cdots$ $m$
$\{a_{n}\}$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $a_{4}$ $a_{5}$ $a_{6}$ $\cdots$ $a_{?}$ $\cdots$ $a_{?}$
$n$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $\cdots$ $\frac{1}{2}(m^{2}-m+2)$ $\cdots$ $\frac{1}{2}m(m+1)$
$3$ $6$ $6$ $9$ $9$ $9$ $\cdots$ $3m$ $\cdots$ $3m$
群の 項数 $1$ $2$ $3$ $\cdots$ $m$
$\cdots$ $3m^{2}$

この表Bを見ながら問題を解いてゆく。

(1)

$a_{100}$が第何群に入るかを考える。
表Bより、
第$m$群の初項は、$\{a_{n}\}$の
$\displaystyle \frac{1}{2}(m^{2}-m+2)$項目。
第$m$群の末項は、$\{a_{n}\}$の
$\displaystyle \frac{1}{2}m(m+1)$項目。
よって、
$\displaystyle \frac{1}{2}(m^{2}-m+2)\leqq 100\leqq\frac{1}{2}m(m+1)$式A
となる$m$を求めれば、それが$a_{100}$の含まれる群だ。

式Aの中辺と右辺より、
$100\displaystyle \leqq\frac{1}{2}m(m+1)$
$200\leqq m(m+1)$式B
なんだけど、これを真面目に2次不等式として解いてはいけない。時間がかかるから。
式Bの右辺は連続する整数。
なので、かけて$200$以上になる連続する整数をさがす。

今回は$200$くらいの数なのでやみくもに探しても見つかるけれど、もっと大きな数だと大変だ。
式Bの左辺の$200$を
$200=\sqrt{200}^{2}$
$200$$=(10\sqrt{2})^{2}$
$200$$\doteqdot(10\times 1.41)^{2}$
$200$$=14.1^{2}$
と考えると、$m$は$14$くらいの数だと想像がつく。

式Bの右辺に$m=14$を代入すると、
$14(14+1)=210$
なので、式Bは成り立つ。
また、$m=14$のときに$210$なので、$m=13$のときは計算するまでもなく式Bは成り立たない。
よって、$a_{100}$は第$14$群に含まれる。


表Bより、第$m$群に含まれる項の値はすべて$3m$。
なので、第$14$群に含まれる項の値はすべて$42$。

以上より
$a_{100}=42$
である。

解答$a_{100}=42$

(2)

(1)と同じように、$a_{n}$が第何群に入るか考えよう。

$a_{n}$が第$m$群に入るとすると、
$ 1000\leqq$第$1$群から第$m$群までの和
である。

表Bより、第$m$群に含まれる項の和は
$3m^{2}$
なので、第$1$群から第$m$群までに含まれる項の和は、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{m}3k^{2}$式C
とかけるから、
$1000\displaystyle \leqq\sum_{k=1}^{m}3k^{2}$
という式ができる。

これを変形して、
$1000\displaystyle \leqq 3\cdot\frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)$
$1000\displaystyle \leqq\frac{1}{2}m(m+1)(2m+1)$
右辺の$\displaystyle \frac{1}{2}$と$(2m+1)$をかけ算して
$1000\leqq m(m+1)\left(m+\frac{1}{2}\right)$式D
となる。

これから式Dを解くのだけれど、(1)の式Bのときと同じような考え方をしよう。
式Dの
左辺は、$10^{3}$ 右辺は、連続する整数とその間の数の積。 なので、$m=10$のとき、式Dは成り立つことが分かる。

次に$m=9$でやってみよう。
式Dに$m=9$を代入して、
$1000\displaystyle \leqq 9\cdot(9+1)\cdot\frac{9+1}{2}$
$1000\leqq 9\cdot 10\cdot 5$
両辺を$50$で割って、
$20\leqq 9$
より、式Dは$m=9$のときには成り立たない。

以上より、第$1$群から第$10$群の和が、はじめて$1000$を超えることが分かる。
よって、求める$a_{n}$は第$10$群に含まれる。


ここまでの結果を表にすると、表Cができる。

表C
$1$ $2$ $\cdots$ $9$ $10$
$a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $\cdots$ $a_{?}$ $\cdots$ $a_{45}$ $a_{?}$ $\cdots$ $a_{n}$ $\cdots$ $a_{?}$
$3$ $6$ $6$ $\cdots$ $27$ $\cdots$ $27$ $30$ $\cdots$ $30$ $\cdots$ $30$
合計 $855$

表Cについて、ちょっと補足。

①の$a_{45}$は、
表Bより、第$m$群の末項は第$\displaystyle \frac{1}{2}m(m+1)$項なので、
第$9$群の末項は、これに$m=9$を代入して、第$45$項。

②の$27$は、
表Bより、第$m$群に含まれる項の値はすべて$3m$なので、第$9$群の項は、これに$m=9$を代入して、$27$。

③の$30$も、$3m$に$m=10$を代入して、$30$。

④の$855$は、
式Cより、第$1$群から第$m$群までに含まれる項の和は、$\displaystyle \sum_{k=1}^{m}3k^{2}$
これに、$m=9$を代入すると、第$1$群から第$9$群までに含まれる項の和は、$\displaystyle \sum_{k=1}^{9}3k^{2}$
これを計算して、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{9}3k^{2}=3\cdot\frac{1}{6}\cdot 9(9+1)(2\cdot 9+1)$
          $=855$
である。


表Cより、第$1$群から第$9$群までに含まれる項の和は、$855$。
なので、$1000$には$145$足りない。
足りない分は、第$10$群の項をいくつかたさないといけない。

第$10$群に含まれる項はすべて$30$なので、
$30\times 4 \lt 145 \lt 30\times 5$
より、第$10$群の項を$5$項たせば、初項からの和が$1000$以上になることが分かる。

表Cから、第$9$群の末項は$a_{45}$
これに$5$項加えるので、
$45+5=50$
より、$a_{1}$から$a_{50}$までの和がはじめて$1000$以上になる。

解答$n=50$