まず最初に、高校レベルの群数列は難しくない。
とか言うと、「え～？」とかいう声が聞こえてきそうだけど。
でも、自信を持って言います。群数列は難しくない。ただ、考えなきゃいけない情報が多くて混乱しがちなだけです。
じゃぁどうすればいいかというと、情報を上手に整理すればいいわけです。
具体的には、表に整理するのがお勧めだ。
というわけで、下の表Ａの、色のついたマスをうめる。全部書き込めれば勝ったも同然です。

さて、これから表の色のついたマスをうめてゆくのだけれど、まず(1)から始めよう。
ここに入るのは、第$m$群に含まれる項の数だ。
第$1$群が項数$1$，第$2$群が項数$2$，第$3$群が項数$3$なので、第$m$群は項数$m$だって考えられるから、(1)のマスには$m$を入れる。

次は(2)。第$m$群の末項の$n$、つまり第$m$群の末項が$\{a_{n}\}$の何項目にあたるかを考える。
第$m$群の末項の$n$は、$1$～$m$群に含まれる項数の和なので、
$(2)=1+2+3+4+5+\cdots+m$
$(2)\displaystyle $$\displaystyle =\sum_{k=1}^{m}k$
$(2)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}m(m+1)$
である。

(2)が分かれば(3)は簡単だ。
第$m$群の初項は、第$(m-1)$群の末項の次の項。
第$(m-1)$群の末項は、(2)より
$\displaystyle \frac{1}{2}(m-1)m$
なので、
$(3)=\displaystyle \frac{1}{2}(m-1)m+1$
$(3)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}(m^{2}-m+2)$
となる。

(4)は、$\{a_{n}\}$の$n$項目の値、つまり$a_{n}$の値で、一般項だ。
$\{a_{n}\}$は、初項$3$，公差$2$の等比数列なので、
$a_{n}=3+(n-1)\cdot 2$
$a_{n}$$=2n+1$
より、(4)のマスには$2n+1$が入る。

一般項が分かれば、(5)，(6)は代入するだけの作業だ。

(5)は$2n+1$の$n$に$\displaystyle \frac{1}{2}m(m+1)$を代入して、
$(5)=2\left\{\frac{1}{2}m(m+1)\right\}+1$
$(5)$$=m(m+1)+1$
$(5)$$=m^{2}+m+1$

(6)は$2n+1$の$n$に$\displaystyle \frac{1}{2}(m^{2}-m+2)$を代入して、
$(6)=2\left\{\frac{1}{2}(m^{2}-m+2)\right\}+1$
$(6)$$=(m^{2}-m+2)+1$
$(6)$$=m^{2}-m+3$
である。

最後に、(7)。
第$m$群は、初項$m^{2}-m+3$，末項$m^{2}+m+1$，項数$m$の等差数列なので、和は等差数列の和の公式より、
$(7)=\displaystyle \frac{1}{2}m\{(m^{2}-m+3)+(m^{2}+m+1)\}$
$(7)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}m(2m^{2}+4)$
$(7)$$=m(m^{2}+2)$
となる。

まず第$9$群の第$5$項目が、$\{a_{n}\}$の第何項目にあたるかを考えよう。
表Ｂより、第$9$群の初項は、$\{a_{n}\}$の
$\displaystyle \frac{1}{2}(9^{2}-9+2)$
$=37$項目。
求める第$9$群の第$5$項目は、第$9$群の初項の$4$項後ろなので、
$37+4=41$項目。
これを$\{a_{n}\}$の一般項に代入して、
$a_{41}=2\cdot 41+1$
$a_{41}$$=83$
よって、第$9$群の第$5$項目の値は$83$である。

解答83

まず、$151$が$\{a_{n}\}$の第何項になるかを考えよう。
表Ｂより$\{a_{n}\}$の一般項は$2n+1$なので、
$2n+1=151$
$2n=150$
$n=75$
となる。
なので、$a_{75}$が第何群の第何項目かを求めればよい。

$a_{75}$が第$k$群に含まれるとすると、表Ｂより第$m$群の初項の$n$は$\displaystyle \frac{1}{2}(m^{2}-m+2)$，末項の$n$は$\displaystyle \frac{1}{2}m(m+1)$なので、
$\displaystyle \frac{1}{2}(k^{2}-k+2)\leqq 75\leqq\frac{1}{2}k(k+1)$
各辺を$2$倍して、
$k^{2}-k+2\leqq 150\leqq k(k+1)$
$k(k-1)+2\leqq 150\leqq k(k+1)$式Ａ
となる$k$を求めればよい。

適当に代入してみよう。
$k=11$くらいから始めてみる。
$k(k-1)+2=11\cdot 10+2=112$
$k(k+1)=11\cdot 12=132$
より、
$112\leqq 150\not\leqq 132$
で、式Ａにあわない。

$k=11$じゃちょっと小さすぎたので、次は$k=12$だ。
$k=12$のとき、
$k(k-1)+2=12\cdot 11+2=134$
$k(k+1)=12\cdot 13=156$
より、
$134\leqq 150\leqq 156$
で、式Ａにあてはまる。
なので、$a_{75}$は第$12$群に含まれる。

表Ｂより、第$12$群の初項の$n$は、
$\displaystyle \frac{1}{2}(12^{2}-12+2)=67$
よって、初項は$a_{67}$

$75-67=8$
より、$a_{75}$は$a_{67}$の$8$項後ろ。
よって、初項の$8$項後ろなので、第$9$項目。

以上より、$151$は第$12$群の第$9$項目である。

解答第$12$群の第$9$項目

表Ｂより、第$m$群に含まれる項の和は$m(m^{2}+2)$なので、第$10$群に含まれる項の和は、
$10(10^{2}+2)=1020$
である。

解答1020

これまでの解説で分かるように、表Ｂができれば、群数列の問題は簡単に解ける。
例題にあげたもののほか、群数列の問題にはさまざまなパターンが存在するが、まず表をつくり、それを見ながら解くことに変わりはない。
いかに情報を見やすく整理するか、それが群数列の問題を解く全てだと言ってよい。