大学入試センター試験 2011年(平成23年) 追試 数学ⅡB 第1問 [1] 解説

ア~エ

真数条件より、
$\left\{\begin{array}{l} 0 \lt 6-x\\ 0 \lt x-1 \end{array}\right.$
である。

これを計算して、
$0 \lt 6-x$
$x \lt 6$
$0 \lt x-1$
$1 \lt x$
より、
$1 \lt x \lt 6$式A
となる。

解答ア:1, イ:6


$uv\leqq 0$になるのは
$0\leqq u$ かつ $v\leqq 0$ $u\leqq 0$ かつ $0\leqq v$ のいずれかのとき。

$0\leqq u$ かつ $v\leqq 0$のとき、
$\left\{\begin{array}{l}
0\leqq\log_{2}(6-x)\\
\log_{2}(x-1)\leqq 0
\end{array}\right.$式B
だけど、この式は一方の辺が$\log$,もう一方の辺が$\log$じゃないので、そのままだと計算できない。
だから、両辺とも$\log$にしよう。

復習

$\log$じゃない項を$\log$にする方法の復習をしよう。。
ここでは、$k$という項を、底が$a$の$\log$にしてみる。

$\log_{a}a=1$なので、
$k=k\times\log_{a}a$
$k$$=\log_{a}a^{k}$
と変形できる。

混乱しないでほしいのだけど、ここで説明した方法は、例えば
$\log_{2}5x=3$
のように、ひとつの式の中に$\log$の項と$\log$じゃない項が混じっているとき、$\log$じゃない項を$\log$にする方法である。
$3^{20}=10^{x}$
のように、全部の項が$\log$じゃないときは
$\log_{10}3^{20}=\log_{10}10^{x}$
と、普通に両辺の対数をとればよい。

復習の方法を使って、式Bは
$\left\{\begin{array}{l}
0\times\log_{2}2\leqq\log_{2}(6-x)\\
\log_{2}(x-1)\leqq 0\times\log_{2}2
\end{array}\right.$
と変形できる。

これをそれぞれ計算して、
$0\times\log_{2}2\leqq\log_{2}(6-x)$
$\log_{2}2^{0}\leqq\log_{2}(6-x)$
底が$1$より大きいので、
$2^{0}\leqq 6-x$
$1\leqq 6-x$
$x\leqq 5$式C
$\log_{2}(x-1)\leqq 0\times\log_{2}2$
$\log_{2}(x-1)\leqq\log_{2}2^{0}$
底が$1$より大きいので、
$x-1\leqq 2^{0}$
$x-1\leqq 1$
$x\leqq 2$式D
となる。
なので、$0\leqq u$,$v\leqq 0$になるのは、式A,式C,式Dの重なる範囲の
$1 \lt x\leqq 2$
である。

解答ウ:2

$u\leqq 0$ かつ $0\leqq v$のとき、
$\left\{\begin{array}{l}
\log_{2}(6-x)\leqq 0\\
0\leqq\log_{2}(x-1)
\end{array}\right.$
だけど、この式は式Bの不等号の向きが変わっただけ。
なので、答も、
式Cより
$5\leqq x$
式Dより
$2\leqq x$
となるはずなので、な$u\leqq 0$,$0\leqq v$になるのは、
$5\leqq x \lt 6$
である。

解答エ:5


以上より、$2 \lt x \lt 5$の間で$0 \lt uv$なので、$uv$最大値はこの範囲にある。

オ~キ

復習

相加平均と相乗平均の関係は、
$0\leqq A$,$0\leqq B$のとき、
$A+B\geqq 2\sqrt{AB}$
で、等号が成り立つのは
$A=B$
のときだった。

$2 \lt x \lt 5$の間で$0 \lt u$,$0 \lt v$なので、相加平均と相乗平均の関係より、
$2\sqrt{uv}\leqq u+v$
より
$\displaystyle \sqrt{uv}\leqq\frac{1}{2}(u+v)$
である。
これに$u$,$v$の式を代入して、
$\displaystyle \sqrt{uv}\leqq\frac{1}{2}(\log_{2}(6-x)+\log_{2}(x-1))$
$\displaystyle \sqrt{uv}$$\displaystyle \leqq\frac{1}{2}\log_{2}(6-x)(x-1)$
$\displaystyle \sqrt{uv}$$\displaystyle \leqq\frac{1}{2}\log_{2}(-x^{2}+7x-6)$(*)
となる。

解答オ:-, カ:7, キ:6

ク~ソ

(*)式の右辺を見ると、底は$1$より大きいので、真数の
$-x^{2}+7x-6$式E
が最大のとき
$\log_{2}(-x^{2}+7x-6)$
も最大になる。
なので、式Eの最大を求めよう。

式Aを平方完成すると、
$-(x^{2}-7x)-6$
途中式 $=-\left\{x^{2}-7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}-\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\right\}-6$
$=-\left(x-\frac{7}{2}\right)+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}-6$
$=-\displaystyle \left(x-\frac{7}{2}\right)+\frac{49}{4}-\frac{24}{4}$
$=-\displaystyle \left(x-\frac{7}{2}\right)+\frac{25}{4}$
となるので、
式Eは、$x=\displaystyle \frac{7}{2}$のとき最大値$\displaystyle \frac{25}{4}$
をとる。

解答ク:7, ケ:2, コ:2, サ:5, シ:4


この$x=\displaystyle \frac{7}{2}$は$2 \lt x \lt 5$の範囲に入る。
また、$x=\displaystyle \frac{7}{2}$のとき、
$u=\log_{2}\left(6-\frac{7}{2}\right)$
$u\displaystyle $$\displaystyle =\log_{2}\frac{5}{2}$
$v=\log_{2}\left(\frac{7}{2}-1\right)$
$v\displaystyle $$\displaystyle =\log_{2}\frac{5}{2}$
なので、$u=v$となり、(*)式の等号が成り立つ。

よって、$\sqrt{uv}$の最大値は、(*)式の$-x^{2}+7x-6$に$\displaystyle \frac{25}{4}$を代入した
$\displaystyle \frac{1}{2}\log_{2}\frac{25}{4}$
途中式 $=\displaystyle \frac{1}{2}\log_{2}\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$
$=\displaystyle \frac{1}{2}\times 2\times\log_{2}\left(\frac{5}{2}\right)$
$=\log_{2}5-\log_{2}2$
$=\log_{2}5-1$式F
となる。

ここで問われているのは$\sqrt{uv}$の最大値ではなく、$uv$の最大値なので、式Fを2乗して、
$(\log_{2}5-1)^{2}$
が答だ。

解答ス:5, セ:1, ソ:2