すべてのカードの取り出し方は、$10$枚から$5$枚出すので、
${}_{10}\mathrm{C}_{5}=\displaystyle \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
       $=9\cdot 4\cdot 7$式Ａ
       $=252$
通り。

解答ア：２, イ：５, ウ：２

得点が$0$点になるのは、取り出した５枚のカードのうち最大の数字$L$が偶数のとき。
カードは５枚取り出すので、$L$が$5$より小さくなることはないから、
$L=6$，$L=8$，$L=10$
の場合の数をそれぞれ求めてたそう。
$L=6$のとき、
１枚は、$6$が出る 残りの４枚は、$1$，$2$，$3$，$4$，$5$の５枚から出る ので、場合の数は
$1\times {}_{5}\mathrm{C}_{4}={}_{5}\mathrm{C}_{1}$
           $=5$
通り。
$L=8$のとき、
１枚は、$8$が出る 残りの４枚は、$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$の７枚から出る ので、場合の数は
$1\times {}_{7}\mathrm{C}_{4}={}_{7}\mathrm{C}_{3}$
           $=35$
通り。
$L=10$のとき、
１枚は、$10$が出る 残りの４枚は、$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$の９枚から出る ので、場合の数は
$1\times {}_{9}\mathrm{C}_{4}=126$
通り。
これをすべてたして、
$5+35+126=166$
通りである。

解答エ：１, オ：６, カ：６

得点が$0$点じゃないのは
$L$が奇数 のときで、得点は、取り出した５枚のカードのうちの
最大の数字$L-$最小の数字$S$ である。

得点が最も低いのは
$L$が奇数 $L$と$S$の差が最小なので、連続する５つの数字が出る とき。

このようなカードの取り出し方は表Ａのような場合である。

表Ａより、得点は$4$点、取り出し方は$3$通りである。

解答キ：４, ク：３

得点が最も高いのは、
$L$が奇数 $L$と$S$の差が最大 なので、５枚のうち
２枚は$9$と$1$が出る 残りの３枚は、$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$の７枚から出る 場合。

なので、
得点は
$9-1=8$点
場合の数は、
$1\cdot {}_{7}\mathrm{C}_{3}\cdot 1=35$通り
である。

解答ケ：８, コ：３, サ：５

得点が$5$点なのは、
$L$が奇数 $L-S=5$ のときなので、
$L$と$S$の選び方は、$9$と$4$または$7$と$2$ 残りの３つの数字は、$S$より大きく$L$未満の４つの数字から選ぶ ことになる。

よって、場合の数は
$2\times {}_{4}\mathrm{C}_{3}$
である。
また、式Ａより、すべての場合の数は$9\cdot 4\cdot 7$通りなので、確率は
$\displaystyle \frac{2\times {}_{4}\mathrm{C}_{3}}{9\cdot 4\cdot 7}=\frac{2\cdot 4}{9\cdot 4\cdot 7}$
            $=\displaystyle \frac{2}{63}$
となる。

解答シ：２, ス：６, セ：３

得点が$6$点なのは、
$L$が奇数 $L-S=6$ のときなので、
$L$と$S$の選び方は、$9$と$3$または$7$と$1$ 残りの３つの数字は、$S$より大きく$L$未満の５つの数字から選ぶ ことになる。

よって、場合の数は
$2\times {}_{5}\mathrm{C}_{3}$
である。
また、式Ａより、すべての場合の数は$9\cdot 4\cdot 7$通りなので、確率は
$\displaystyle \frac{2\times {}_{5}\mathrm{C}_{3}}{9\cdot 4\cdot 7}=\frac{2\cdot 5\cdot 2}{9\cdot 4\cdot 7}$
            $=\displaystyle \frac{5}{63}$
となる。

解答ソ：５, タ：６, チ：３

得点が$7$点なのは、
$L$が奇数 $L-S=7$ のときなので、
$L$と$S$の選び方は、$9$と$2$ 残りの３つの数字は、$S$より大きく$L$未満の６つの数字から選ぶ ことになる。

よって、場合の数は
$1\times {}_{6}\mathrm{C}_{3}$
である。
また、式Ａより、すべての場合の数は$9\cdot 4\cdot 7$通りなので、確率は
$\displaystyle \frac{1\times {}_{6}\mathrm{C}_{3}}{9\cdot 4\cdot 7}=\frac{5\cdot 4}{9\cdot 4\cdot 7}$
            $=\displaystyle \frac{5}{63}$
となる。

解答ツ：５, テ：６, ト：３

以上より確率分布表を書くと、表Ｂができる。

表Ｂより、得点の期待値は
$4\displaystyle \cdot\frac{3}{9\cdot 4\cdot 7}+5\cdot\frac{2}{9\cdot 7}+6\cdot\frac{5}{9\cdot 7}+7\cdot\frac{5}{9\cdot 7}+8\cdot\frac{35}{9\cdot 4\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{3}{9\cdot 7}+\frac{10}{9\cdot 7}+\frac{30}{9\cdot 7}+\frac{35}{9\cdot 7}+\frac{2\cdot 35}{9\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{3+10+30+3\cdot 35}{9\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{148}{63}$
となる。

解答ナ：１, ニ：４, ヌ：８, ネ：６, ノ：３