大学入試センター試験 2011年(平成23年) 追試 数学ⅡB 第2問 解説

(1) ア~ウ

直線$\ell$の式を
$k(x+2)-y=0$式A
とすると、
$\left\{\begin{array}{l}
x+2=0\\
y=0
\end{array}\right.$
つまり
$\left\{\begin{array}{l}
x=-2\\
y=0
\end{array}\right.$
のとき、$k$がどんな値であっても式Aは成り立つ。
言いかえると、$k$の値によらず $(x,y)=(-2,0)$のとき式Aは成り立つ。
なので、直線$\ell$は$k$の値によらずに
定点A$(-2,0)$
を通る。

解答ア:-, イ:2, ウ:0

復習

「$k$の値にかかわらず定点を通る」問題の場合、
1.$k$について項べきの順に整理 2.$k$の係数と定数項がすべて$0$ の順で考える。

(1) 曲線Cのグラフ

次に曲線$C$の接線を考える。
この問題はグラフがなくても解けるけど、曲線$C$の式は見るからにグラフが描きやすそうだ。
なので、先にグラフを描いておこう。

アドバイス

イメージをつかんでミスを防ぐためにも、グラフが簡単に描けるときには描いておくことを薦める。


曲線$C$の式
$y=x^{3}-20x$式B
の右辺は簡単に因数分解できて、
$y=x(x^{2}-20)$
$y$$=x(x+\sqrt{20})(x-\sqrt{20})$
と変形できる。
なので、$x$軸と
$(-\sqrt{20},0)$,$(0,0)$,$(\sqrt{20},0)$
の3点で交わることが分かる。

さらに、
$4 \lt \sqrt{20} \lt 5$
より、
$-5 \lt -\sqrt{20} \lt -4$
なので、点$(-\sqrt{20},0)$は点Aよりも左にある。

アドバイス

もちろん
$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
と変形して、
$\sqrt{5}=2.236$
または
$2 \lt \sqrt{5} \lt 3$
から、点$(-\sqrt{20},0)$は点Aよりも左にあることを見つけてもよいけど、解説のように$\sqrt{20}$のままで考えた方が早い。


また、式Bは3次関数で、$x^{3}$の項の係数が正だから、グラフは全体として右上がり。

復習

3次関数のグラフは、$x^{3}$の係数が正のとき、全体として右上がりの

大学入試センター試験2011年追試 数学ⅡB第2問 解説図

のような形に、
$x^{3}$の係数が負のとき、全体として右下がりの

大学入試センター試験2011年追試 数学ⅡB第2問 解説図

のような形になる。

以上から曲線$C$のグラフを描くと、図Aができる。

図A
大学入試センター試験2011年追試 数学ⅡB第2問 解説図A

アドバイス

グラフによって楽な描き方は変わる。今回は因数分解したけど、他の方法が早い場合もある。なので、ひとつのやり方にこだわるんじゃなくて、いろんな方法をマスターして欲しい。
図やグラフや表をかいて目で見て考えられるようになると、問題がとても解きやすくなる。グラフがさっと描けることは、本当に重要なことなのだ。
慣れると、解説の方法で図Aのグラフを描くのに30秒くらいしかかからない。

(1) エ~ソ

図B
大学入試センター試験2011年追試 数学ⅡB第2問 解説図B

曲線$C$の接線(例えば図Bの緑の線)の式を求める。

点$(t,t^{3}-20t)$における曲線$C$の接線の傾きは、$C$の式を微分して
$y'=3x^{2}-20$
より、
$3t^{2}-20$

この傾きの直線が点$(t,t^{3}-20t)$を通るので、接線の式は
$y-(t^{3}-20t)=(3t^{2}-20)(x-t)$
$y=(3t^{2}-20)x-3t^{3}+20t+t^{3}-20t$
$y$$=(3t^{2}-20)x-2t^{3}$式C
である。

解答エ:3, オ:2, カ:0, キ:2


接線が点Aを通るとき、グラフは図Cのようになる。

図C
大学入試センター試験2011年追試 数学ⅡB第2問 解説図C

接線が点Aを通るので、式Cに$(-2,0)$を代入して、
$0=(3t^{2}-20)(-2)-2t^{3}$
両辺を$-2$で割って
$3t^{2}-20+t^{3}=0$
$t^{3}+3t^{2}-20=0$式D

$t=2$のとき式Dは成り立つから、$t-2$で割る。
組み立て除法をして、

$1$ $3$ $-20$ $2$
$2$ $10$ $20$
$1$ $5$ $10$ $0$

より、式Dは
$(t-2)(t^{2}+5t+10)=0$
と変形できる。
この式の
$t^{2}+5t+10$
の部分は、$t$が実数の範囲で$0$にならない。
なので、式Dの方程式の解は
$t=2$
だけである。
よって、接線が点Aを通るのは
$t=2$
のときに限る。

解答ク:2

このとき、接線(図Cの緑の直線)の式は、式Cに$t=2$を代入して、
$y=(3\cdot 2^{2}-20)x-2\cdot t^{3}$
$y$$=-8x-16$式E
となる。

解答ケ:-, コ:8, サ:1, シ:6


ここまでで分かったことを図Cに書き込むと、図Dができる。

図D
大学入試センター試験2011年追試 数学ⅡB第2問 解説図D

ちょっと確認すると、曲線Cと緑の直線は、
$x=2$で接する $x=2$以外に交点がある(図Dの青い点)

この時点で、問題文中のソは$2$だと分かるんだけど、スセ(図Dの青い点の$x$座標)が分からない。
というわけで、連立方程式だ。

曲線Cの式と式Eより、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
y=x^{3}-20x\\
y=-8x-16
\end{array}\right.$
ができる。
上の式から下の式を辺々引いて、
$(x^{3}-20x)-(-8x-16)=0$
$x^{3}-12x+16=0$式F
となる。

さっき確認したように、曲線Cと緑の直線は$x=2$で接し、$x=$スセで交わるから、式Fは
$(x-2)^{2}(x-$スセ$)=0$式G
と因数分解できるはずだ。
なので、式Gを展開すると、式Fになる。
全部展開するのは面倒なので、定数項だけ考えると、
$(-2)^{2}(-$スセ$)=16$
$-4$スセ$=16$
スセ$=-4$
である。

解答ス:-, セ:4, ソ:2

(1) タ~ナ

これまでの話を整理すると、
$P(x)=0$の実数解は、曲線$C$と直線$\ell$の共有点 実数解が1つのときの$k$の値の範囲を知りたい 直線$\ell$は傾きが$k$で、点Aを通る $k=8$のとき、図Dのように$C$と$\ell$は接する である。

なので、直線$\ell$の傾きをいろいろ変えてみて、共有点の数を考える。
言いかえると、直線$\ell$を点Aを中心にして回転させ、共有点の数を考えよう。


まず、左回り(反時計回り)から。
図Eを見てほしい。

図E
大学入試センター試験2011年追試 数学ⅡB第2問 解説図E

さっき求めた式Eのグラフ(緑の直線)を、左回りに回転してみる。
傾きは$-8$より大きくなるから、$k$の値も$-8$より大きくなる。
このとき、例えば青い直線みたいなのができるけど、いずれも曲線Cと2つ以上の共有点をもつから、不適。

もっと回転して、垂直な線(紫の線)になった場合、曲線Cとの共有点はひとつだけど、
$y=kx+$△
の形の式で表せないから、直線$\ell$にはなれない。なので不適。

緑の線も、曲線Cと共有点を2つもつから、不適。

よって、傾き$k$が、
$-8\leqq k$
となる範囲は、すべて不適。


一方、図Fのように、緑の直線を右回り(時計回り)させる場合は、曲線Cとの共有点はひとつだけだからOK。

図F
大学入試センター試験2011年追試 数学ⅡB第2問 解説図F

このとき、傾き$k$は、
$k \lt -8$
となる。

解答タ:-, チ:8


このときの実数解$\alpha$は、直線と曲線Cの交点の$x$座標。
交点は、図Fのオレンジの部分(両端を含まない)以外にはあり得ないので、
$-4 \lt \alpha \lt -2$
である。

解答ツ:-, テ:4, ト:-, ナ:2

(2)

3次関数がらみの図形の面積なので、積分しよう。
だけど、
$y=P(x)$
$y$$=x^{3}-(k+20)x-2k$式H
のグラフと
$y=x^{3}-kx^{2}-20x$式I
のグラフの、どっちが上にあるか分からない。
もしかすると、$1 \lt x \lt 2$の範囲で交わっていて、上下が入れ替わっているかも知れない。
なので、まず2つのグラフの交点を求めよう。

式Hから式Iを辺々引いて、
$kx^{2}-kx-2k=0$
共通因数$k$でくくると、
$k(x^{2}-x-2)=0$式J
なので、$k=0$のとき、すべての$x$が解になる。
つまり、2つの式は同じグラフになる。
今は囲まれた図形の面積が$1$になる場合を求めているので、$k=0$は不適。

$k\neq 0$のとき、式Jが成り立つのは、
$x^{2}-x-2=0$
の場合。
因数分解して、
$(x+1)(x-2)=0$
より
$x=-1,2$
の場合。
つまり、2つのグラフは、
$x=-1,2$
で共有点をもつ。

このことから、
$-1 \lt x \lt 2$
の範囲で、2つのグラフの上下は入れ替わらないから、一度に積分できることが分かる。


で、どっちのグラフが上にあるか考える。
2つのグラフは
$-1 \lt x \lt 2$
の範囲で上下が入れ替わらないので、式Hと式Iの$x$に$-1 \lt x \lt 2$の範囲の簡単な値を代入して比べよう。
式Hに$x=0$を代入して、
$y=-2k$
式Iに$x=0$を代入して、
$y=0$
なので、
$0 \lt -2k$
つまり
$k \lt 0$
のとき、式Hが上
$-2k \lt 0$
つまり
$0 \lt k$
のとき、式Iが上
である。


ということで、積分だ。

$k \lt 0$のとき

式Hが上で、図形の面積が$1$になるので、
$\displaystyle \int_{1}^{2}$式H-式I $dx=1$
より
$\displaystyle \int_{1}^{2}\{x^{3}-(k+20)x-2k\}-(x^{3}-kx^{2}-20x) dx=1$
である。
これを計算して、
途中式 $\displaystyle \int_{1}^{2}(kx^{2}-kx-2k)\ dx=1$
$k\displaystyle \int_{1}^{2}(x^{2}-x-2)\ dx=1$
$k\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2x\right]_{1}^{2}=1$
$k\left\{\frac{2^{3}-1^{3}}{3}-\frac{2^{2}-1^{2}}{2}-2\cdot(2-1)\right\}=1$
$k\left(\frac{7}{3}-\frac{3}{2}-2\right)=1$
$k\left(\frac{14}{6}-\frac{9}{6}-\frac{12}{6}\right)=1$
$k\left(-\frac{7}{6}\right)=1$式K
$k=-\displaystyle \frac{6}{7}$
となる。
これは、場合分けの$k \lt 0$に含まれる。

$0 \lt k$のとき

$k \lt 0$のときとグラフの上下が入れ替わっただけなので、積分の計算結果は$\pm$が入れ替わるだけ。
なので、式Kより
$k\left(\frac{7}{6}\right)=1$
$k=\displaystyle \frac{6}{7}$
となる。
これは、場合分けの$0 \lt k$に含まれる。

以上より、図形の面積が$1$になるのは
$k=\displaystyle \pm\frac{6}{7}$
のときである。

解答ニ:6, ヌ:7