大学入試センター試験 2011年(平成23年) 追試 数学ⅡB 第4問 解説

(1)

図A
大学入試センター試験2011年追試 数学ⅡB第4問 解説図A

図Aで、
$\vec{\mathrm{Q}\mathrm{X}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{X}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$
$\vec{\mathrm{Q}\mathrm{X}}$$=a\vec{p}-\vec{q}$
である。

解答ア:a

$\mathrm{QX}$⊥$\mathrm{OP}$より
$\vec{\mathrm{Q}\mathrm{X}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=0$
なので、
$(a\vec{p}-\vec{q})\cdot\vec{p}=0$
$a\left|\vec{p}\right|^{2}-\vec{p}\cdot\vec{q}=0$
とかける。

問題文より$\left|\vec{p}\right|=4$,$\vec{p}\cdot\vec{q}=12$なので、上の式は
$4^{2}a-12=0$
$a=\displaystyle \frac{3}{4}$
となる。

解答イ:3, ウ:4

よって、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{X}}=\frac{3}{4}\vec{p}$
だから、
$\vec{\mathrm{R}\mathrm{X}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=(\vec{\mathrm{O}\mathrm{X}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}})\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$
$\vec{\mathrm{R}\mathrm{X}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$$=\left(\frac{3}{4}\vec{p}-\vec{r}\right)\cdot\vec{p}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{R}\mathrm{X}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$$\displaystyle =\frac{3}{4}\left|\vec{p}\right|^{2}-\vec{r}\cdot\vec{p}$
ここで、$\left|\vec{p}\right|=4$,$\vec{r}\cdot\vec{p}=12$なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{R}\mathrm{X}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=\frac{3}{4}\cdot 4^{2}-12=0$
である。

解答エ:0


同様に、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Y}}=b\vec{q}$とすると、
$\vec{\mathrm{P}\mathrm{Y}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{Y}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$
$\vec{\mathrm{P}\mathrm{Y}}$$=b\vec{q}-\vec{p}$
とかける。

$\mathrm{PY}$⊥$\mathrm{OQ}$より $\vec{\mathrm{P}\mathrm{Y}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=0$ なので、
$(b\vec{q}-\vec{p})\cdot\vec{q}=0$
$b\left|\vec{q}\right|^{2}-\vec{p}\cdot\vec{q}=0$
とかける。

$\left|\vec{q}\right|=3\sqrt{2}$,$\vec{p}\cdot\vec{q}=12$なので、上の式は
$(3\sqrt{2})^{2}b-12=0$
$b=\displaystyle \frac{2}{3}$
となるから、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{Y}}=\frac{2}{3}\vec{q}$
である。

解答オ:2, カ:3

よって、
$\vec{\mathrm{R}\mathrm{Y}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=(\vec{\mathrm{O}\mathrm{Y}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}})\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$
$\vec{\mathrm{R}\mathrm{Y}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$$=\left(\frac{2}{3}\vec{q}-\vec{r}\right)\cdot\vec{q}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{R}\mathrm{Y}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$$\displaystyle =\frac{2}{3}\left|\vec{q}\right|^{2}-\vec{q}\cdot\vec{r}$
ここで、$\left|\vec{q}\right|=3\sqrt{2}$,$\vec{q}\cdot\vec{r}=12$なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{R}\mathrm{Y}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=\frac{2}{3}(3\sqrt{2})^{2}-12=0$
である。

解答キ:0

(2)

図B
大学入試センター試験2011年追試 数学ⅡB第4問 解説図B

さて、次は見慣れた交点へのベクトルの問題だ。
図Bのように
$\mathrm{QH}:\mathrm{XH}=1-u:u$ $\mathrm{PH}:\mathrm{YH}=v:1-v$ とすると、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=(1-u)\vec{\mathrm{O}\mathrm{X}}+u\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$$\displaystyle =\frac{3}{4}(1-u)\vec{p}+u\vec{q}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=(1-v)\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}+v\vec{\mathrm{O}\mathrm{Y}}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$$\displaystyle =(1-v)\vec{p}+\frac{2}{3}v\vec{q}$式A
なので、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
\frac{3}{4}(1-u)=1-v\\
u=\frac{2}{3}v
\end{array}\right.$
ができる。これを解く。

下の式を上の式に代入して、
$\displaystyle \frac{3}{4}\left(1-\frac{2}{3}v\right)=1-v$
両辺を$4$倍して、
$3\left(1-\frac{2}{3}v\right)=4(1-v)$
$3-2v=4-4v$
$v=\displaystyle \frac{1}{2}$

これを式Aに代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\vec{p}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\vec{q}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}\vec{p}+\frac{1}{3}\vec{q}$式B
となる。

解答ク:1, ケ:2, コ:1, サ:3


図C
大学入試センター試験2011年追試 数学ⅡB第4問 解説図C

次は、平面と直線との交点へのベクトル。
図Cのように、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}$を緑のルートと青いルートから2通りに表そう。


緑のルート

まず、緑のルートから。
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}+\vec{\mathrm{H}\mathrm{K}}$
だけど、$\vec{\mathrm{H}\mathrm{K}}=t\vec{\mathrm{H}\mathrm{R}}$とおくので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}+t\vec{\mathrm{H}\mathrm{R}}$式C
とかける。
ここで、$\vec{\mathrm{H}\mathrm{R}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$なので、式Cは
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}+t(\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}})$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}$$=(1-t)\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}$
となる。

アドバイス

結局、
$\mathrm{HK}:\mathrm{RK}=t:1-t$
とおいたのと同じ式になるけど、問題文の流れに乗ると上のような考えになる。

これに式Bと$\vec{\mathrm{OR}}=\vec{r}$を代入して、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}=(1-t)\left(\frac{1}{2}\vec{p}+\frac{1}{3}\vec{q}\right)+t\vec{r}$
である。

解答シ:1

この式は、もうちょっと計算して
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}=\frac{1-t}{2}\vec{p}+\frac{1-t}{3}\vec{q}+t\vec{r}$式D
としておこう。


青いルート

次は、青いルートだ。
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}+\vec{\mathrm{P}\mathrm{K}}$式E
とする。
$\vec{\mathrm{P}\mathrm{K}}$は平面$\alpha$上のベクトルなので、同じ平面$\alpha$上のベクトル$\vec{\mathrm{P}\mathrm{Z}}$,$\vec{\mathrm{P}\mathrm{Q}}$を使って
$\vec{\mathrm{P}\mathrm{K}}=k\vec{\mathrm{P}\mathrm{Z}}+l\vec{\mathrm{P}\mathrm{Q}}$
とかける。

なので、式Eは
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}+k\vec{\mathrm{P}\mathrm{Z}}+l\vec{\mathrm{P}\mathrm{Q}}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}$$=\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}+k(\vec{\mathrm{O}\mathrm{Z}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}})+l(\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}})$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}$$=\vec{p}+k(s\vec{r}-\vec{p})+l(\vec{q}-\vec{p})$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}$$=\vec{p}+ks\vec{r}-k\vec{p}+l\vec{q}-l\vec{p}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}$$=(1-k-l)\vec{p}+l\vec{q}+ks\vec{r}$式F
と変形できる。


緑のルート$=$青いルート

式D$=$式Fより、
$\left\{\begin{array}{l}
\frac{1-t}{2}=1-k-l\\
\frac{1-t}{3}=l\\
t=ks
\end{array}\right.$
となる。
この連立方程式からスセの式を作るのだけど、スセの式には$s$,$t$があって$k$,$l$がない。
なので、$k$と$l$を消去する方針で。

真ん中の式を上の式に代入して、
$\displaystyle \frac{1-t}{2}=1-k-\frac{1-t}{3}$
$k=1-\displaystyle \frac{1-t}{3}-\frac{1-t}{2}$
途中式 $k\displaystyle $$\displaystyle =\frac{6-2(1-t)-3(1-t)}{6}$
$k\displaystyle $$\displaystyle =\frac{6-5(1-t)}{6}$
$k\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1+5t}{6}$
これを下の式に代入して、
$t=\displaystyle \frac{1+5t}{6}s$
$6t=s+5st$
$(6-5s)t=s$
$t=\displaystyle \frac{s}{6-5s}$式G
である。

解答ス:6, セ:5


$\mathrm{PZ}$と$\mathrm{OR}$が垂直ならば、
$\vec{\mathrm{P}\mathrm{Z}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}=0$
なので、
$(\vec{\mathrm{O}\mathrm{Z}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}})\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}=0$
$(s\vec{r}-\vec{p})\cdot\vec{r}=0$
$s\left|\vec{r}\right|^{2}-\vec{p}\cdot\vec{r}=0$
となる。
$\left|\vec{r}\right|=2\sqrt{7}$,$\vec{p}\cdot\vec{r}=12$なので、上の式は
$s(2\sqrt{7})^{2}-12=0$
$s=\displaystyle \frac{12}{(2\sqrt{7})^{2}}$
$s\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3}{7}$
となる。

解答ソ:3, タ:7

これを式Gに代入して、
$t=\displaystyle \frac{\frac{3}{7}}{6-5\cdot\frac{3}{7}}$
分母分子を$7$倍して、
$t=\displaystyle \frac{3}{7\cdot 6-5\cdot 3}$
分母分子を$3$で割って、
$t=\displaystyle \frac{1}{7\cdot 2-5}$
$t\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{9}$
である。

解答チ:1, ツ:9