大学入試センター試験 2012年(平成24年) 本試 数学ⅡB 第1問 [2] 解説

解説

$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき、$\sin\alpha=\cos 2\beta$をみたす$\beta$を求める。
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}$は値が分かるから以下のような手間がかかる作業をする必要はないんだけれど、説明の都合なので付き合ってほしい。

まず、三角比の拡張の復習から。

復習

図A
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第1問[2] 解説図A

単位円(半径$1$の円)で、中心から$\theta$の角度で線を引き、円にぶつかった点の$x$座標が$\cos\theta$,$y$座標が$\sin\theta$だった。

図B
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第1問[2] 解説図B

$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき、単位円で$\alpha$の角度を表すと、図Bのようになる。
黒い点の$y$座標が$\sin\alpha$で、値は$\displaystyle \frac{1}{2}$である。

図C
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第1問[2] 解説図C

$\sin\alpha=\cos 2\beta$なので、$\displaystyle \cos 2\beta=\frac{1}{2}$になる角度をさがす。
$\cos$は$x$座標なので、単位円に$x=\displaystyle \frac{1}{2}$の線を書き込むと、図Cができる。
$x=\displaystyle \frac{1}{2}$の線は単位円と赤い2点の共有点をもつ。
$\mathrm{O}$から赤い点に線を引くと、これが$\cos 2\beta$が$\displaystyle \frac{1}{2}$となる角度だ。

図D
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第1問[2] 解説図D

$ 0\leqq\beta\leqq\pi$
より、
$ 0\leqq 2\beta\leqq 2\pi$
なので、図Cに角度の線を赤で、定義域を緑で書き込むと、図Dができる。
図Dより、
$2\displaystyle \beta=\frac{\pi}{3}$,$\displaystyle \frac{5}{3}\pi$
$\displaystyle \beta=\frac{\pi}{6}$,$\displaystyle \frac{5}{6}\pi$
となる。

解答シ:6, ス:5

それから、図Dのオレンジの角度は$\alpha$と等しい。


で、セ以下を解いてゆくのだけれど、どうすればよいのか一瞬悩むと思う。

アドバイス

センター試験に限らず、マークシートのテストで悩んだら、上を見て、下を見る。つまり、今までの流れを確認して、それでも分からなければ先の流れを読む。
今回も、まず上を見よう。

シスは、$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$として$\sin\alpha=\cos 2\beta$を解いた。で、次は$\alpha$の文字のままで解けという。このような、文字に計算しやすい数字を代入して問題を解かせ、次に文字のまま解けというパターンのときは、数字を代入したときの解法がヒントになっていると考えて間違いない。なので、シスまでの解法と同じことをしてみよう。

図E
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第1問[2] 解説図E

$0\displaystyle \leqq\alpha \lt \frac{\pi}{2}$のとき、単位円で$\alpha$の角度を表すと、図Eのようになる。
黒い点の$y$座標が$\sin\alpha$で、説明のために値を$k$としておく。

単位円に$x=k$の線を書き込むと、この線は単位円と赤い点の共有点をもつ。
$\mathrm{O}$から赤い点に線を引くと、これが$\cos 2\beta$が$k$となる角度だ。
さっきと同じように、角度の線を赤で、定義域を緑で書き込むと、図Fができる。
図F中のオレンジの角度は$\alpha$と等しい。

図F
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第1問[2] 解説図F

図Fより、
$ 2\displaystyle \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha$,$\displaystyle \frac{3}{2}\pi+\alpha$
$\displaystyle \beta=\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}$,$\displaystyle \frac{3}{4}\pi+\frac{\alpha}{2}$
となる。
このうち小さい方が$\beta_{1}$,大きい方が$\beta_{2}$なので、
$\left\{\begin{array}{l}
\beta_{1}=\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\\
\beta_{2}=\frac{3}{4}\pi+\frac{\alpha}{2}
\end{array}\right.$式A
である。

解答セ:4, ソ:2, タ:3


図G
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第1問[2] 解説図G

同じようにして$\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqq\alpha\leqq\pi$のときの$\beta$も求めよう。
単位円で$\alpha$の角度を表して、図Gをつくり、
$x=k$の線と、単位円との共有点と、角度の線と、$ 2\beta$の定義域を書き込んで、図Hをつくる。

さっきと似たようなグラフができたけど、$\alpha$が違う。
$\alpha$の作り方で混乱するかも知れないけれど、図Dを見ると、$y$軸の
正の方向から右回り 負の方向から左回り に$\alpha$の角度をとっている。
図Hでも同じようにすればいい。

図H
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第1問[2] 解説図H

図Hより、
$ 2\displaystyle \beta=-\frac{\pi}{2}+\alpha$,$\displaystyle \frac{5}{2}\pi-\alpha$
$\displaystyle \beta=-\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}$,$\displaystyle \frac{5}{4}\pi-\frac{\alpha}{2}$
となる。よって、
$\left\{\begin{array}{l}
\beta_{1}=-\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\\
\beta_{2}=\frac{5}{4}\pi-\frac{\alpha}{2}
\end{array}\right.$式B
である。

解答チ:4, ツ:2, テ:5


$0\displaystyle \leqq\alpha \lt \frac{\pi}{2}$のとき、式Aより、
$\displaystyle \alpha+\frac{\beta_{1}}{2}+\frac{\beta_{2}}{3}$
$=\displaystyle \alpha+\frac{\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}}{2}+\frac{\frac{3}{4}\pi+\frac{\alpha}{2}}{3}$
途中式 $=\displaystyle \alpha+\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{4}+\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{6}$
$=\displaystyle \frac{\pi}{8}+\frac{2\pi}{8}+\frac{12}{12}\alpha-\frac{3\alpha}{12}+\frac{2\alpha}{12}$
$=\displaystyle \frac{3}{8}\pi+\frac{11}{12}\alpha$式C

$0\displaystyle \leqq\alpha \lt \frac{\pi}{2}$の各辺を$\displaystyle \frac{11}{12}$倍して、
$ 0\displaystyle \leqq\frac{11}{12}\alpha \lt \frac{11}{24}\pi$
各辺に$\displaystyle \frac{3}{8}\pi$をたして、
$\displaystyle \frac{3}{8}\pi\leqq\frac{3}{8}\pi+\frac{11}{12}\alpha \lt \frac{3}{8}\pi+\frac{11}{24}\pi$
途中式 $\displaystyle \frac{3}{8}\pi\leqq\frac{3}{8}\pi+\frac{11}{12}\alpha \lt \frac{9}{24}\pi+\frac{11}{24}\pi$
$\displaystyle \frac{3}{8}\pi\leqq\frac{3}{8}\pi+\frac{11}{12}\alpha \lt \frac{20}{24}\pi$
$\displaystyle \frac{3}{8}\pi\leqq\frac{3}{8}\pi+\frac{11}{12}\alpha \lt \frac{5}{6}\pi$
この式の中辺は式Cと同じなので、
$\displaystyle \frac{3}{8}\pi\leqq\alpha+\frac{\beta_{1}}{2}+\frac{\beta_{2}}{3} \lt \frac{5}{6}\pi$式D
である。

$\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqq\alpha\leqq\pi$のときも同様の作業をしよう。
式Bより、
$\displaystyle \alpha+\frac{\beta_{1}}{2}+\frac{\beta_{2}}{3}$
$=\displaystyle \alpha+\frac{-\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}}{2}+\frac{\frac{5}{4}\pi-\frac{\alpha}{2}}{3}$
途中式 $=\displaystyle \alpha-\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{4}+\frac{5}{12}\pi-\frac{\alpha}{6}$
$=-\displaystyle \frac{3}{24}\pi+\frac{10}{24}\pi+\frac{12}{12}\alpha+\frac{3\alpha}{12}-\frac{2\alpha}{12}$
$=\displaystyle \frac{7}{24}\pi+\frac{13}{12}\alpha$式E

$\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqq\alpha\leqq\pi$の各辺を$\displaystyle \frac{13}{12}$倍して、
$\displaystyle \frac{13}{24}\pi\leqq\frac{13}{12}\alpha\leqq\frac{13}{12}\pi$
各辺に$\displaystyle \frac{7}{24}\pi$をたして、
$\displaystyle \frac{7}{24}\pi+\frac{13}{24}\pi\leqq\frac{7}{24}\pi+\frac{13}{12}\alpha\leqq\frac{7}{24}\pi+\frac{13}{12}\pi$
途中式 $\displaystyle \frac{20}{24}\pi\leqq\frac{7}{24}\pi+\frac{13}{12}\alpha\leqq\frac{7}{24}\pi+\frac{26}{24}\pi$
$\displaystyle \frac{5}{6}\pi\leqq\frac{7}{24}\pi+\frac{13}{12}\alpha\leqq\frac{33}{24}\pi$
$\displaystyle \frac{5}{6}\pi\leqq\frac{7}{24}\pi+\frac{13}{12}\alpha\leqq\frac{11}{8}\pi$
この式の中辺は式Eと同じなので、
$\displaystyle \frac{5}{6}\pi\leqq\alpha+\frac{\beta_{1}}{2}+\frac{\beta_{2}}{3}\leqq\frac{11}{8}\pi$式F
である。

求める範囲は、式Dの範囲または式Fの範囲なので、
$\displaystyle \frac{3}{8}\pi\leqq\alpha+\frac{\beta_{1}}{2}+\frac{\beta_{2}}{3}\leqq\frac{11}{8}\pi$式G
であることが分かる。

解答ト:3, ナ:8, ニ:1, ヌ:1, ネ:8


図I
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第1問[2] 解説図I

式Gの範囲をグラフで表すと、図Iのようになる。

$\sin\left(\alpha+\frac{\beta_{1}}{2}+\frac{\beta_{2}}{3}\right)$が最大になるのは、図Iの赤い角度で、
$\displaystyle \alpha+\frac{\beta_{1}}{2}+\frac{\beta_{2}}{3}=\frac{\pi}{2}$式H
である。

$\displaystyle \frac{\pi}{2}$は式Dの範囲に入るので、場合分けのうち$0\displaystyle \leqq\alpha \lt \frac{\pi}{2}$のときだ。よって、式Cより、
$\displaystyle \alpha+\frac{\beta_{1}}{2}+\frac{\beta_{2}}{3}=\frac{3}{8}\pi+\frac{11}{12}\alpha$
なので、式Hは
$\displaystyle \frac{3}{8}\pi+\frac{11}{12}\alpha=\frac{\pi}{2}$
とかける。
両辺$24$倍して、
$ 9\pi+22\alpha=12\pi$
$ 22\alpha=3\pi$
$\displaystyle \alpha=\frac{3}{22}\pi$
となるので、最大値をとるときの$\alpha$は$\displaystyle \frac{3}{22}\pi$である。

解答ノ:3, ハ:2, ヒ:2

また、図Iより、最大値は$1$である。

解答フ:1