表Ａ

(点)	10
	9
	8							1		1
英 語	7						5
	6					4	1	1	2
	5						2
	4				1	1
	3				1
	2
	1
	0
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
						国語					(点)

国語の得点が４点なのは表Ａの緑の部分なので、５人。

解答ア：５

表Ｂ

(点)	10
	9
	8							1		1
英 語	7						5
	6					4	1	1	2
	5						2
	4				1	1
	3				1
	2
	1
	0
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
						国語					(点)

図Ｂの青い部分は、国語と英語の得点が等しい。なので、それより右下の緑の部分は英語の得点が国語の得点より低い。
よって、問われている英語の得点が国語の得点以下であるのは青＋緑の部分で、８人。

解答イ：８

ここで「偏差」って言葉の復習をしておこう。

復習

偏差とは、それぞれのデータの値と平均値との差で、データの値から平均値を引いたもの。
例えば表Ｃだと、国語の最高点は８点だけど、偏差は
$8-5=3$
で３になる。
平均値ちょうどのデータの偏差は０，平均値より小さい値のデータの偏差は負の数である。

それから、分散の復習もしておく。

復習

分散$s^{2}$の定義は、
「偏差の２乗の平均」
つまり、
$s^{2}=\displaystyle \frac{(\text{値}-\text{平均値})^{2}\text{の和}}{\text{データの大きさ}}$
である。

公式

$s^{2}=\displaystyle \frac{\left(x_{1}-\overline{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\overline{x}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)^{2}}{n}$
$s^{2}$$=\overline{x^{2}}-\left(\overline{x}\right)^{2}$

を憶えておこう。

表Ｄ

(点)	10
	9
	8							1		1
英 語	7						5
	6					4	1	1	2
	5						2
	4				1	1
	3				1
	2
	1
	0
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
						国語					(点)

表Ｄのグレーの部分が平均値。グレーの部分よりも下は偏差は負・上は偏差は正になるけど、分散の計算に必要なのは偏差の２乗なので、上も下も正の数になる。
偏差の２乗は、緑の部分は$1^{2}$，青い部分は$2^{2}$，オレンジの部分は$3^{2}$になる。
グレーの部分の偏差の２乗はは$0^{2}$だから、無視しても結果は変わらない。なので、計算からは除外する。
分散$s^{2}$は
$s^{2}=\displaystyle \frac{1^{2}\times(5+2)+2^{2}\times(1+1+1+1)+3^{2}\times 1}{20}$

途中式

$s^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7+16+9}{20}$
$s^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{32}{20}$
$s^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{16}{10}$

$s^{2}$$=1.6$
である。

解答オ：１, カ：６, キ：０

次は、相関係数だ。

復習

データの組$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，$\cdots$，$(x_{n},y_{n})$があり、$x$の平均値を$\overline{x}$，$y$の平均値を$\overline{y}$とする。
$x$の偏差と$y$の偏差の積
$(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})$，$(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})$，$\cdots$，$(x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})$
を偏差の交差積という。
この偏差の交差積の平均値を共分散という。
共分散を$s_{xy}$とすると、

公式

$s_{xy}=\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})$＋
                 $\cdots+(x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})\}$
$s_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}\cdot y_{k}-\overline{x}\cdot\overline{y}$

この共分散$s_{xy}$を、$x,\ y$それぞれの標準偏差の積で割った、

公式

$r_{xy}=\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$

を相関係数という。

表Ｅのグレーの部分は、国語または英語の偏差が０なので、偏差の交差積も０。
なので、無視しても結果は変わらないから、計算からは除外する。
偏差の交差積は、
緑の部分は２
右上の緑は、$1\times 2=2$ 左下の緑は、$(-1)\times(-2)=2$ 青い部分は４
$(-2)\times(-2)=4$ オレンジの部分は６
右上のオレンジは、$3\times 2=6$ 左下のオレンジは、$(-2)\times(-3)=6$ である。
よって、共分散$s_{xy}$は、
$s_{xy}=\displaystyle \frac{2\times(1+1)+4\times 1+6\times(1+1)}{20}$
$s_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4+4+12}{20}$
$s_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{20}{20}=1$

この$s_{xy}$を国語と英語の標準偏差の積で割れば、相関係数だ。
問題文中の表より、国語の分散は$1.60$なので、国語の標準偏差は$\sqrt{1.60}$ オカキより、英語の分散も$1.60$なので、英語も標準偏差は$\sqrt{1.60}$ 以上より、相関係数$r_{xy}$は、
$r_{xy}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1.60}\times\sqrt{1.60}}$

途中式

$r_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{1.60}$
$r_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{10}{16}$
$r_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{5}{8}$

$r_{xy}$$=0.625$
となる。

解答ケ：０, コ：６, サ：２, シ：５

表Ｆ

(点)	10
	9
	8							1		1
英 語	7						5			2	1
	6					4	1	8	5	F
	5					3	5	5	1
	4			2	2	D	E	2	2
	3		1		1
	2
	1
	0
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
						国語					(点)

(2)でＡクラスの国語の平均点を求めたのと同じような計算方法をしよう。
国語の得点が５点（表Ｆのグレーの部分）を基準（０）にすると、グレーより右の部分は＋、左の部分は－で表せる。例えば６点は$+1$点、４点は$-1$点になる。
すると、表Ｆの青い部分は右と左がセットで０になるので、オレンジ色の部分だけ計算すると、
$1\times(1+8)+2\times 5+3\times 1=22$
なので、国語の合計点は$ 5\times$人数よりも$22$点多い。
問題文より、Ｄ，Ｅ，Ｆを除いた人数は52人なので、
$5\times 52+22$
$=10\times 26+22$
$=282$
である。

解答ス：２, セ：８, ソ：２

問題より、生徒は全部で60人で、Ｄ，Ｅ，Ｆを除いた人数は52人。
なので、
$\mathrm{D}+\mathrm{E}+\mathrm{F}=60-52$
$\mathrm{D}+\mathrm{E}+\mathrm{F}$$=8$式Ａ
である。

解答タ：８

また、問題より、全60人の生徒の平均点は、国語も英語も5.4点。
なので、国語も英語も合計点は
$5.4\times 60=324$式Ｂ
で、324点。
スセソより、Ｄ，Ｅ，Ｆを除いた国語の合計点は282点。

よって、
$4\mathrm{D}+5\mathrm{E}+8\mathrm{F}=324-282$
$4\mathrm{D}+5\mathrm{E}+8\mathrm{F}$$=42$式Ｃ

解答：チ：４, ツ：２

さらに、英語でも同じように式をつくると、
$4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+6\mathrm{F}=36$式Ｄ

式Ａ，Ｃ，Ｄの連立方程式を解く。
式Ａの両辺を４倍して、
$4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+4\mathrm{F}=32$式Ａ'

式Ａ'と式Ｃで加減法をして、
$-)$$ 4\mathrm{D}+5\mathrm{E}+8\mathrm{F}=42$
$\underline{-)4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+4\mathrm{F}=32}$
             $\mathrm{E}+4\mathrm{F}=10$式Ｅ

式Ａ'と式Ｄで加減法をして、
$-)$$ 4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+6\mathrm{F}=36$
$\underline{-)4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+4\mathrm{F}=32}$
                   $2\mathrm{F}=4$
                    $\mathrm{F}=2$
これを式Ｅに代入して、
$\mathrm{E}+8=10$
$\mathrm{E}=2$

$\mathrm{E}=2$，$\mathrm{F}=2$を式Ａに代入して、
$\mathrm{D}=4$
である。

解答テ：４, ト：２, ナ：２

式Ｂより、全60人の英語の合計点は、324点。
Ａクラスの英語の合計点は、
平均点は6.0点。 人数は20人。 より、$6\times 20=120$点。
よって、Ａクラス以外の
合計点は、$324-120=204$点。 人数は、$40$人。 となるので、平均点は
$\displaystyle \frac{204}{40}=5.1$点
である。

解答ニ：５, ヌ：１

ちょっと面倒だけど、この問題でも表を書こう。
問題文中のＡクラス＋他クラスの表をもとに、縦１列ごとに、$M(x)$（英語の平均点）と$N(x)$（英語の得点の中央値）を計算したものが表Ｈである。

表Ｈ

						国語					(点)
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
(点)	10
	9
	8							1		1
英 語	7						5			2	1
	6					4	1	8	5	2
	5					3	5	5	1
	4			2	2	4	2	2	2
	3		1		1
	2
	1
	0
$x$		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$M(x)$			3	4	$\frac{11}{3}$	5	$\frac{74}{13}$	$\frac{89}{16}$	$\frac{43}{8}$	$\frac{34}{5}$	7
$N(x)$			3	4	4	5	5	6	6	7	7

表Ｈより、$M(x)\neq N(x)$であるのは$x=3,5,6,7,8$の５個である。

解答ハ：５

さらに、表Ｈより、$M(x) \lt x$かつ$N(x) \lt x$であるのは$x=7,8,9$の３個である。

解答ヒ：３