大学入試センター試験 2012年(平成24年) 本試 数学ⅡB 第5問 解説

(1)

表A
(点) 10
9
8 1 1

7 5
6 4 1 1 2
5 2
4 1 1
3 1
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
国語 (点)

国語の得点が4点なのは表Aの緑の部分なので、5人。

解答ア:5

表B
(点) 10
9
8 1 1

7 5
6 4 1 1 2
5 2
4 1 1
3 1
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
国語 (点)

図Bの青い部分は、国語と英語の得点が等しい。なので、それより右下の緑の部分は英語の得点が国語の得点より低い。
よって、問われている英語の得点が国語の得点以下であるのは青+緑の部分で、8人。

解答イ:8

(2)

表C
(点) 10
9
8 1 1

7 5
6 4 1 1 2
5 2
4 1 1
3 1
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
国語 (点)

5点を仮平均とする。表Cのグレーの部分が仮平均。
仮平均値を0とすると、グレーより右の部分は+、左の部分は-で表せて、例えば6点は$+1$点、4点は$-1$点になる。
すると、表Cの緑の部分・青い部分は右と左がセットで0になるので、オレンジ色の部分だけ計算すればよい。
$-1\times 4+1\times 1+3\times 1=0$
なので、仮平均の$5$点がちょうど平均値Bである。

解答ウ:5, エ:0


ここで「偏差」って言葉の復習をしておこう。

復習

偏差とは、それぞれのデータの値と平均値との差で、データの値から平均値を引いたもの。
例えば表Cだと、国語の最高点は8点だけど、偏差は
$8-5=3$
で3になる。
平均値ちょうどのデータの偏差は0,平均値より小さい値のデータの偏差は負の数である。

それから、分散の復習もしておく。

復習

分散$s^{2}$の定義は、
「偏差の2乗の平均」
つまり、
$s^{2}=\displaystyle \frac{(\text{値}-\text{平均値})^{2}\text{の和}}{\text{データの大きさ}}$
である。

公式

$s^{2}=\displaystyle \frac{\left(x_{1}-\overline{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\overline{x}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)^{2}}{n}$
$s^{2}$$=\overline{x^{2}}-\left(\overline{x}\right)^{2}$

を憶えておこう。

表D
(点) 10
9
8 1 1

7 5
6 4 1 1 2
5 2
4 1 1
3 1
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
国語 (点)

表Dのグレーの部分が平均値。グレーの部分よりも下は偏差は負・上は偏差は正になるけど、分散の計算に必要なのは偏差の2乗なので、上も下も正の数になる。
偏差の2乗は、緑の部分は$1^{2}$,青い部分は$2^{2}$,オレンジの部分は$3^{2}$になる。
グレーの部分の偏差の2乗はは$0^{2}$だから、無視しても結果は変わらない。なので、計算からは除外する。
分散$s^{2}$は
$s^{2}=\displaystyle \frac{1^{2}\times(5+2)+2^{2}\times(1+1+1+1)+3^{2}\times 1}{20}$
途中式 $s^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7+16+9}{20}$
$s^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{32}{20}$
$s^{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{16}{10}$
$s^{2}$$=1.6$
である。

解答オ:1, カ:6, キ:0

(3)

表E
(点) 10
9
8 1 1

7 5
6 4 1 1 2
5 2
4 1 1
3 1
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
国語 (点)

国語の得点も英語の得点も平均値じゃない生徒は、表Eのグレーの部分以外。
なので、5人。

解答ク:5


次は、相関係数だ。

復習

データの組$(x_{1},y_{1})$,$(x_{2},y_{2})$,$\cdots$,$(x_{n},y_{n})$があり、$x$の平均値を$\overline{x}$,$y$の平均値を$\overline{y}$とする。
$x$の偏差と$y$の偏差の積
$(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})$,$(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})$,$\cdots$,$(x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})$
を偏差の交差積という。
この偏差の交差積の平均値を共分散という。
共分散を$s_{xy}$とすると、

公式

$s_{xy}=\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})$+
                 $\cdots+(x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})\}$
$s_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}\cdot y_{k}-\overline{x}\cdot\overline{y}$

この共分散$s_{xy}$を、$x,\ y$それぞれの標準偏差の積で割った、

公式

$r_{xy}=\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$

を相関係数という。

表Eのグレーの部分は、国語または英語の偏差が0なので、偏差の交差積も0。
なので、無視しても結果は変わらないから、計算からは除外する。
偏差の交差積は、
緑の部分は2
右上の緑は、$1\times 2=2$ 左下の緑は、$(-1)\times(-2)=2$
青い部分は4
$(-2)\times(-2)=4$
オレンジの部分は6
右上のオレンジは、$3\times 2=6$ 左下のオレンジは、$(-2)\times(-3)=6$
である。
よって、共分散$s_{xy}$は、
$s_{xy}=\displaystyle \frac{2\times(1+1)+4\times 1+6\times(1+1)}{20}$
$s_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4+4+12}{20}$
$s_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{20}{20}=1$

この$s_{xy}$を国語と英語の標準偏差の積で割れば、相関係数だ。
問題文中の表より、国語の分散は$1.60$なので、国語の標準偏差は$\sqrt{1.60}$ オカキより、英語の分散も$1.60$なので、英語も標準偏差は$\sqrt{1.60}$ 以上より、相関係数$r_{xy}$は、
$r_{xy}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1.60}\times\sqrt{1.60}}$
途中式 $r_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{1.60}$
$r_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{10}{16}$
$r_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{5}{8}$
$r_{xy}$$=0.625$
となる。

解答ケ:0, コ:6, サ:2, シ:5

(4)

表F
(点) 10
9
8 1 1

7 5 2 1
6 4 1 8 5 F
5 3 5 5 1
4 2 2 D E 2 2
3 1 1
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
国語 (点)

(2)でAクラスの国語の平均点を求めたのと同じような計算方法をしよう。
国語の得点が5点(表Fのグレーの部分)を基準(0)にすると、グレーより右の部分は+、左の部分は-で表せる。例えば6点は$+1$点、4点は$-1$点になる。
すると、表Fの青い部分は右と左がセットで0になるので、オレンジ色の部分だけ計算すると、
$1\times(1+8)+2\times 5+3\times 1=22$
なので、国語の合計点は$ 5\times$人数よりも$22$点多い。
問題文より、D,E,Fを除いた人数は52人なので、
$5\times 52+22$
$=10\times 26+22$
$=282$
である。

解答ス:2, セ:8, ソ:2


問題より、生徒は全部で60人で、D,E,Fを除いた人数は52人。
なので、
$\mathrm{D}+\mathrm{E}+\mathrm{F}=60-52$
$\mathrm{D}+\mathrm{E}+\mathrm{F}$$=8$式A
である。

解答タ:8

また、問題より、全60人の生徒の平均点は、国語も英語も5.4点。
なので、国語も英語も合計点は
$5.4\times 60=324$式B
で、324点。
スセソより、D,E,Fを除いた国語の合計点は282点。

よって、
$4\mathrm{D}+5\mathrm{E}+8\mathrm{F}=324-282$
$4\mathrm{D}+5\mathrm{E}+8\mathrm{F}$$=42$式C

解答:チ:4, ツ:2

さらに、英語でも同じように式をつくると、
$4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+6\mathrm{F}=36$式D

式A,C,Dの連立方程式を解く。
式Aの両辺を4倍して、
$4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+4\mathrm{F}=32$式A'

式A'と式Cで加減法をして、
$-)$$ 4\mathrm{D}+5\mathrm{E}+8\mathrm{F}=42$
$\underline{-)4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+4\mathrm{F}=32}$
             $\mathrm{E}+4\mathrm{F}=10$式E

式A'と式Dで加減法をして、
$-)$$ 4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+6\mathrm{F}=36$
$\underline{-)4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+4\mathrm{F}=32}$
                   $2\mathrm{F}=4$
                    $\mathrm{F}=2$
これを式Eに代入して、
$\mathrm{E}+8=10$
$\mathrm{E}=2$

$\mathrm{E}=2$,$\mathrm{F}=2$を式Aに代入して、
$\mathrm{D}=4$
である。

解答テ:4, ト:2, ナ:2

(5)

式Bより、全60人の英語の合計点は、324点。
Aクラスの英語の合計点は、
平均点は6.0点。 人数は20人。 より、$6\times 20=120$点。
よって、Aクラス以外の
合計点は、$324-120=204$点。 人数は、$40$人。 となるので、平均点は
$\displaystyle \frac{204}{40}=5.1$点
である。

解答ニ:5, ヌ:1


中央値は計算では求められないので、面倒だけど頭を働かさずに手を働かそう。

表G
クラス
全部 A以外
(点) 10 0 0 0
9 0 0 0
8 2 2 0

7 8 5 3
6 20 8 12
5 14 2 12
4 14 2 12
3 2 1 1
2 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0

問題文中の2つの表から、英語の点数ごとの人数を計算した。と言っても、横1行ごとに人数の合計を計算しただけなので、たいした計算ではない。その後、全クラスの人数からAクラスの人数を引いた。その結果が表Gである。
今必要なのはAクラス以外の人数なので、表のオレンジの部分を見る。
Aクラス以外の人数は40人なので、中央値は上から(下からでもいいけど)20番目と21番目の平均だ。

表Gより、上から20番目も、21番目も5点であることが分かる。
なので、中央値は$5.0$である。

解答ネ:5, ノ:0

(6)

ちょっと面倒だけど、この問題でも表を書こう。
問題文中のAクラス+他クラスの表をもとに、縦1列ごとに、$M(x)$(英語の平均点)と$N(x)$(英語の得点の中央値)を計算したものが表Hである。

表H
国語 (点)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(点) 10
9
8 1 1

7 5 2 1
6 4 1 8 5 2
5 3 5 5 1
4 2 2 4 2 2 2
3 1 1
2
1
0
$x$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$M(x)$ 3 4 $\frac{11}{3}$ 5 $\frac{74}{13}$ $\frac{89}{16}$ $\frac{43}{8}$ $\frac{34}{5}$ 7
$N(x)$ 3 4 4 5 5 6 6 7 7

表Hより、$M(x)\neq N(x)$であるのは$x=3,5,6,7,8$の5個である。

解答ハ:5

さらに、表Hより、$M(x) \lt x$かつ$N(x) \lt x$であるのは$x=7,8,9$の3個である。

解答ヒ:3