大学入試センター試験 2012年(平成24年) 本試 数学ⅡB 第3問 解説

解説

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$式A
とおくと、$a_{2}=-\displaystyle \frac{7}{3}$,$a_{5}=-\displaystyle \frac{25}{3}$なので、
$\left\{\begin{array}{l}
a_{1}+(2-1)d=-\frac{7}{3}\\
a_{1}+(5-1)d=-\frac{25}{3}
\end{array}\right.$
と書ける。
これを連立方程式として解く。

下の式から上の式を辺々引いて、
$3d=-\displaystyle \frac{18}{3}$
$3d=-6$
$d=-2$

これを連立方程式の上の式に代入して、
$a_{1}-2=-\displaystyle \frac{7}{3}$
$a_{1}=-\displaystyle \frac{1}{3}$
となる。

解答ア:-, イ:1, ウ:3, エ:-, オ:2

初項と公差が分かったので、これを式Aに代入して、
$a_{n}=-\displaystyle \frac{1}{3}-2(n-1)$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{1}{3}-2n+2$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-2n+\frac{5}{3}$
である。

解答カ:-, キ:2, ク:5, ケ:3

以上の結果を等差数列の和の公式
$S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n(a_{1}+a_{n})$
に代入して、
$S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n\left\{-\frac{1}{3}+\left(-2n+\frac{5}{3}\right)\right\}$
$S_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}n\left(-2n+\frac{4}{3}\right)$
$S_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-n^{2}+\frac{2}{3}n$式B
である。

解答コ:-, サ:2, シ:3


$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_{k}$は、$\{b_{n}\}$の初項から$n$項までの和なので、$\displaystyle \sum_{k=1}^{1}b_{k}=b_{1}$である。
よって、
$b_{1}=\displaystyle \frac{4}{3}b_{1}+S_{1}$式C
式Bより$S_{n}=-n^{2}+\displaystyle \frac{2}{3}n$なので、式Cは
$b_{1}=\displaystyle \frac{4}{3}b_{1}+\left(-1^{2}+\frac{2}{3}\cdot 1\right)$
といえる。
両辺を$3$倍して、
$3b_{1}=4b_{1}-3+2$
$b_{1}=1$
である。

解答ス:1


$\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}b_{k}+b_{n+1}$
に①式を代入して、
$\left(\frac{4}{3}b_{n+1}+S_{n+1}\right)=\left(\frac{4}{3}b_{n}+S_{n}\right)+b_{n+1}$
これに式Bを代入して、
$\left[\frac{4}{3}b_{n+1}+\left\{-(n+1)^{2}+\frac{2}{3}(n+1)\right\}\right]$
          $=\left\{\frac{4}{3}b_{n}+\left(-n^{2}+\frac{2}{3}n\right)\right\}+b_{n+1}$
両辺を$3$倍して分母を払おう。
$[4b_{n+1}+\{-3(n+1)^{2}+2(n+1)\}]$
          $=\{4b_{n}+(-3n^{2}+2n)\}+3b_{n+1}$
$4b_{n+1}-3(n+1)^{2}+2(n+1)$
          $=4b_{n}-3n^{2}+2n+3b_{n+1}$
$b_{n+1}=4b_{n}+3(n+1)^{2}-3n^{2}+2n-2(n+1)$
途中式 $b_{n+1}$$=4b_{n}+3\{(n+1)^{2}-n^{2}\}+2\{n-(n+1)\}$
$b_{n+1}$$=4b_{n}+3\{(n+1)+n\}\{(n+1)-n\}+2(-1)$
$b_{n+1}$$=4b_{n}+3(2n+1)-2$
$b_{n+1}$$=4b_{n}+6n+1$式D
である。

解答セ:4, ソ:6, タ:1


次は、式Dを
$b_{n+1}+\text{チ}(n+1)+\text{ツ}=4(b_{n}+\text{チ}n+\text{ツ})$式E
の形に変形する。
けれど、式Dを式Eに変形するより、式Eを式Dに変形する方が楽だ。

式Eより、
$b_{n+1}+\text{チ}n+\text{チ}+\text{ツ}=4b_{n}+4\text{チ}n+4\text{ツ}$
$b_{n+1}=4b_{n}+4\text{チ}n-\text{チ}n+4\text{ツ}-\text{チ}-\text{ツ}$
$b_{n+1}=4b_{n}+(3\text{チ})n+(3\text{ツ}-\text{チ})$
である。これが式Dと等しいので、
$\left\{\begin{array}{l}
3\text{チ}=6\\
3\text{ツ}-\text{チ}=1
\end{array}\right.$
と書ける。よって、
$\text{チ}=2$,$\text{ツ}=1$
である。

解答チ:2, ツ:1


これで、式Eは
$b_{n+1}+2(n+1)+1=4(b_{n}+2n+1)$式E'
となった。

$c_{n}=b_{n}+2n+1$式F
として、式E'に代入すると、
$c_{n+1}=4c_{n}$
となるので、$\{c_{n}\}$は公比が$4$の等比数列であることが分かる。

あとは$c_{1}$が分かれば$\{c_{n}\}$の一般項が分かる。
式Fに$n=1$を代入して、
$c_{1}=b_{1}+3$
スより$b_{1}=1$なので、
$c_{1}=1+3=4$
である。

解答テ:4, ト:4

以上より、
$c_{n}=4\cdot 4^{n-1}$
$c_{n}$$=4^{n}$
である。

これを式Fに代入して、
$4^{n}=b_{n}+2n+1$
$b_{n}=4^{n}-2n-1$
となる。

解答ナ:4, ニ:2, ヌ:2, ネ:1