$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$式Ａ
とおくと、$a_{2}=-\displaystyle \frac{7}{3}$，$a_{5}=-\displaystyle \frac{25}{3}$なので、
$\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle a_{1}+(2-1)d=-\frac{7}{3}\\
\displaystyle a_{1}+(5-1)d=-\frac{25}{3}
\end{array}\right.$
と書ける。
これを連立方程式として解く。

下の式から上の式を辺々引いて、
$3d=-\displaystyle \frac{18}{3}$
$3d=-6$
$d=-2$

これを連立方程式の上の式に代入して、
$a_{1}-2=-\displaystyle \frac{7}{3}$
$a_{1}=-\displaystyle \frac{1}{3}$
となる。

解答ア：－, イ：１, ウ：３, エ：－, オ：２

初項と公差が分かったので、これを式Ａに代入して、
$a_{n}=-\displaystyle \frac{1}{3}-2(n-1)$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{1}{3}-2n+2$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-2n+\frac{5}{3}$
である。

解答カ：－, キ：２, ク：５, ケ：３

以上の結果を等差数列の和の公式
$S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n(a_{1}+a_{n})$
に代入して、
$S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n\left\{-\frac{1}{3}+\left(-2n+\frac{5}{3}\right)\right\}$
$S_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}n\left(-2n+\frac{4}{3}\right)$
$S_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-n^{2}+\frac{2}{3}n$式Ｂ
である。

解答コ：－, サ：２, シ：３

$\displaystyle \sum_{k=1}^{1}b_{k}=b_{1}$なので
$b_{1}=\displaystyle \frac{4}{3}b_{1}+S_{1}$式Ｃ
であり、式Ｂより$S_{n}=-n^{2}+\displaystyle \frac{2}{3}n$なので、式Ｃは
$b_{1}=\displaystyle \frac{4}{3}b_{1}+\left(-1^{2}+\frac{2}{3}\cdot 1\right)$
と表せる。

この両辺を$3$倍すると
$3b_{1}=4b_{1}-3+2$
$b_{1}=1$
となる。

解答ス：１

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}b_{k}+b_{n+1}$
に①式を代入して、
$\displaystyle \left(\frac{4}{3}b_{n+1}+S_{n+1}\right)=\left(\frac{4}{3}b_{n}+S_{n}\right)+b_{n+1}$
これに式Ｂを代入すると
$\displaystyle \left[\frac{4}{3}b_{n+1}+\left\{-(n+1)^{2}+\frac{2}{3}(n+1)\right\}\right]$
          $\displaystyle =\left\{\frac{4}{3}b_{n}+\left(-n^{2}+\frac{2}{3}n\right)\right\}+b_{n+1}$
とかける。

この両辺を$3$倍して、
$[4b_{n+1}+\{-3(n+1)^{2}+2(n+1)\}]$
          $=\{4b_{n}+(-3n^{2}+2n)\}+3b_{n+1}$
$4b_{n+1}-3(n+1)^{2}+2(n+1)$
          $=4b_{n}-3n^{2}+2n+3b_{n+1}$
$b_{n+1}=4b_{n}+3(n+1)^{2}-3n^{2}+2n-2(n+1)$

途中式

$b_{n+1}$$=4b_{n}+3\{(n+1)^{2}-n^{2}\}+2\{n-(n+1)\}$
$b_{n+1}$$=4b_{n}+3\{(n+1)+n\}\{(n+1)-n\}+2(-1)$
$b_{n+1}$$=4b_{n}+3(2n+1)-2$

$b_{n+1}$$=4b_{n}+6n+1$式Ｄ
である。

解答セ：４, ソ：６, タ：１

次は、式Ｄを
$b_{n+1}+$チ$(n+1)+$ツ
$\hspace{100px} =4(b_{n}+$チ$n+$ツ$)$
$\hspace{240px}$式Ｅ
の形に変形する。
けれど、式Ｄを式Ｅに変形するより、式Ｅを式Ｄに変形する方が楽だ。

式Ｅより、
$b_{n+1}+$チ$n+$チ$+$ツ
$\hspace{100px} =4b_{n}+4$チ$n+4$ツ
$b_{n+1}=4b_{n}+4$チ$n-$チ$n$
$\hspace{100px} +4$ツ$-$チ$-$ツ
$b_{n+1}=4b_{n}+(3$チ$)n+(3$ツ$-$チ$)$
である。これが式Ｄと等しいので、
$3$チ$=6$ $3$ツ$-$チ$=1$ と書ける。よって、
チ$=2$，ツ$=1$
である。

解答チ：２, ツ：１

これで、式Ｅは
$b_{n+1}+2(n+1)+1=4(b_{n}+2n+1)$
$\hspace{240px}$式Ｅ'
となった。

$c_{n}=b_{n}+2n+1$式Ｆ
として、式Ｅ'に代入すると、
$c_{n+1}=4c_{n}$
となるので、$\{c_{n}\}$は公比が$4$の等比数列であることが分かる。

あとは$c_{1}$が分かれば$\{c_{n}\}$の一般項が分かる。
式Ｆに$n=1$を代入して、
$c_{1}=b_{1}+3$
スより$b_{1}=1$なので、
$c_{1}=1+3=4$
である。

解答テ：４, ト：４

以上より、
$c_{n}=4\cdot 4^{n-1}$
$c_{n}$$=4^{n}$
である。

これを式Ｆに代入して、
$4^{n}=b_{n}+2n+1$
$b_{n}=4^{n}-2n-1$
となる。

解答ナ：４, ニ：２, ヌ：２, ネ：１