大学入試センター試験 2012年(平成24年) 本試 数学ⅡB 第4問 解説

(1)

図A
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第4問 解説図A

MはCEの中点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{E}}}{2}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}=\vec{c}$,$\vec{\mathrm{O}\mathrm{E}}=\vec{b}+\vec{c}$を上の式に代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{\vec{c}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)}{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$$\displaystyle =\frac{\vec{b}+2\vec{c}}{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}$
である。

解答ア:2

NはADを$3:1$に内分する点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\frac{1\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+3\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}}{3+1}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\vec{a}$,$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\vec{a}+\vec{b}$を上の式に代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\frac{\vec{a}+3\left(\vec{a}+\vec{b}\right)}{4}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\frac{\vec{4a}+3\vec{b}}{4}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$
である。

解答イ:3, ウ:4

別解

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}+\vec{\mathrm{C}\mathrm{M}}$
MはCEの中点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{C}\mathrm{E}}$
ここで、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{E}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}+\vec{\mathrm{C}\mathrm{E}}$ $\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}=\vec{c}$ $\vec{\mathrm{O}\mathrm{E}}=\vec{b}+\vec{c}$ より、
$\vec{\mathrm{C}\mathrm{E}}=\vec{b}$
と書ける。
よって、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{b}$
である。

解答ア:2

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{A}\mathrm{N}}$
NはADを$3:1$に内分する点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\frac{3}{4}\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}$
ここで、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}$ $\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\vec{a}$ $\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\vec{a}+\vec{b}$ より、
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\vec{b}$
と書ける。
よって、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$
である。

解答イ:3, ウ:4

(2)

点Oから、FLを$s:(1-s)$に内分する点Pへのベクトル$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$は、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=(1-s)\vec{\mathrm{O}\mathrm{F}}+s\vec{\mathrm{O}\mathrm{L}}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{F}}=\vec{a}+\vec{c}$,$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{L}}=\frac{\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}}{2}=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}$を上の式に代入して、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=(1-s)\left(\vec{a}+\vec{c}\right)+s\left(\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}\right)$
途中式 $\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$$\displaystyle =(1-s)\vec{a}+(1-s)\vec{c}+\frac{s}{2}\vec{a}+s\vec{b}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$$=\left(1-s+\frac{s}{2}\right)\vec{a}+s\vec{b}+(1-s)\vec{c}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$$=\left(1-\frac{s}{2}\right)\vec{a}+s\vec{b}+(1-s)\vec{c}$式A
と書ける。

解答エ:1, オ:2, カ:1

よって、$\vec{\mathrm{M}\mathrm{P}}$は、
$\vec{\mathrm{M}\mathrm{P}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$
途中式 $\vec{\mathrm{M}\mathrm{P}}$$=\left\{\left(1-\frac{s}{2}\right)\vec{a}+s\vec{b}+(1-s)\vec{c}\right\}-\left(\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}\right)$
$\vec{\mathrm{M}\mathrm{P}}$$=\left(1-\frac{s}{2}\right)\vec{a}+\left(s-\frac{1}{2}\right)\vec{b}+(1-s-1)\vec{c}$
$\vec{\mathrm{M}\mathrm{P}}$$=\left(1-\frac{s}{2}\right)\vec{a}+\left(s-\frac{1}{2}\right)\vec{b}-s\vec{c}$式B
となる。

また、$\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}$は、
$\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$
途中式 $\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}$$=\left(\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}\right)-\left(\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}\right)$
$\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}$$=\vec{a}+\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)\vec{b}-\vec{c}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}-\vec{c}$
である。
よって、$\vec{\mathrm{M}\mathrm{P}}=k\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}$となる$k$が存在するならば、
$\vec{\mathrm{M}\mathrm{P}}=k\left(\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}-\vec{c}\right)$
より、
$\displaystyle \vec{\mathrm{M}\mathrm{P}}=k\vec{a}+\frac{k}{4}\vec{b}-k\vec{c}$式C
となる。

式B=式Cなので、
$\left\{\begin{array}{l}
1-\frac{s}{2}=k\\
s-\frac{1}{2}=\frac{k}{4}\\
-s=-k
\end{array}\right.$式D
のすべてを満たす$s$,$k$が存在するならば、点PはMN上にある。

式Dの一番下の式より、
$s=k$
なので、これを他の2式に代入して、
$\left\{\begin{array}{l}
1-\frac{s}{2}=s\\
s-\frac{1}{2}=\frac{s}{4}
\end{array}\right.$
となる。
上の式より、
$2-s=2s$
$3s=2$
$s=\displaystyle \frac{2}{3}$
$k=\displaystyle \frac{2}{3}$
下の式より、
$4s-2=s$
$3s=2$
$s=\displaystyle \frac{2}{3}$
$k=\displaystyle \frac{2}{3}$
となって、$s=k=\frac{2}{3}$のとき、式Dのすべての式が成り立つ。式Dのすべてを満たす$s$,$k$が存在するので、M,N,Pは一直線上にある。

解答キ:2, ク:3, ケ:2, コ:3

(3)

図B
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第4問 解説図B

式Aの$s$が$\displaystyle \frac{2}{3}$のときの点Pが点Gなので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}=\left(1-\frac{\frac{2}{3}}{2}\right)\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\left(1-\frac{2}{3}\right)\vec{c}$
途中式 $\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}$$\displaystyle =\left(1-\frac{1}{3}\right)\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\left(1-\frac{2}{3}\right)\vec{c}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}$$\displaystyle =\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}$$\displaystyle =\frac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)$式E
となる。

解答サ:1, シ:3, ス:2, セ:2

よって、$\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}$は、
$\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{F}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}$
途中式 $\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}$$\displaystyle =\left(\vec{a}+\vec{c}\right)-\frac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}$$\displaystyle =\frac{1}{3}\left(3\vec{a}+3\vec{c}\right)-\frac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}$$\displaystyle =\frac{1}{3}\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)$式F
である。

解答ソ:2


式Fより、
$\left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\right|^{2}=\left|\frac{1}{3}\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)\right|^{2}$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{1}{3^{2}}\left|\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)\right|^{2}$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{1}{3^{2}}\Bigl( \left|\vec{a}\right|^{2}+4\left|\vec{b}\right|^{2}+4\left|\vec{c}\right|^{2}$
                     $-4\vec{a}\cdot\vec{b}-8\vec{b}\cdot\vec{c}+4\vec{c}\cdot\vec{a}\Bigr)$
ここで、$\left|\vec{a}\right|=\sqrt{5}$,$\left|\vec{b}\right|=4$,$\left|\vec{c}\right|=\sqrt{3}$,$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=0$なので、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\right|^{2}=\frac{1}{3^{2}}(5+4\cdot 16+4\cdot 3)$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{81}{3^{2}}$
$0 \lt \left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\right|$なので、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\right|=\frac{9}{3}=3$
となる。

解答タ:3


$\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{G}}$
これは、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=t\vec{c}$および式Eより、
$\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=t\vec{c}-\frac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$$\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot 3t\vec{c}-\frac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$$\displaystyle =\frac{1}{3}\left\{-2\vec{a}-2\vec{b}+(3t-1)\vec{c}\right\}$式G
と書ける。
式F,式Gより、$\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$は、
$\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=\left\{\frac{1}{3}\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)\right\}$
                     $\cdot\left[\frac{1}{3}\left\{-2\vec{a}-2\vec{b}+(3t-1)\vec{c}\right\}\right]$
$\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$$\displaystyle =\frac{1}{9}\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)$
                     $\cdot\left\{-2\vec{a}-2\vec{b}+(3t-1)\vec{c}\right\}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$$\displaystyle =\frac{1}{9}\left\{-2\left|\vec{a}\right|^{2}+4\left|\vec{b}\right|^{2}+2(3t-1)\left|\vec{c}\right|^{2}\right\}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$$\displaystyle =\frac{1}{9}\{-2\cdot 5+4\cdot 16+2(3t-1)\cdot 3\}$
途中式 $\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$$\displaystyle =\frac{1}{9}(-10+4\cdot 16+2\cdot 9t-6)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$$\displaystyle =\frac{1}{9}(9\cdot 2t+4\cdot 16-16)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$$\displaystyle =\frac{1}{9}(9\cdot 2t+3\cdot 16)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$$\displaystyle =2t+\frac{16}{3}$
となる。

解答チ:2, ツ:1, テ:6, ト:3

$\angle \mathrm{FGH}=\angle \mathrm{MGH}=\theta$とすると、
$\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=\left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\right|\cdot\left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}\right|\cdot\cos\theta$ $\vec{\mathrm{G}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=\left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{M}}\right|\cdot\left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}\right|\cdot\cos\theta$ とかける。

これは、$\left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\right|=3$,$\left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{M}}\right|=2$より、
$\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=3\left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}\right|\cdot\cos\theta$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}\right|\cdot\cos\theta=\frac{\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}}{3}$式H
$\vec{\mathrm{G}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=2\left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}\right|\cdot\cos\theta$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}\right|\cdot\cos\theta=\frac{\vec{\mathrm{G}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}}{2}$式I
となる。
式H=式Iなので、
$\displaystyle \frac{\vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}}{3}=\frac{\vec{\mathrm{G}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}}{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{G}\mathrm{F}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}=\frac{3}{2}\vec{\mathrm{G}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{G}\mathrm{H}}$
である。

解答ナ:3, ニ:2

これに①,②を代入して、
$2t+\displaystyle \frac{16}{3}=\frac{3}{2}\left(2t+\frac{10}{3}\right)$
$2t+\displaystyle \frac{16}{3}=3t+5$
両辺を$3$倍して分母を払って、
$6t+16=9t+15$
$3t=1$
$t=\displaystyle \frac{1}{3}$
となる。

解答ヌ:1, ネ:3