点$\mathrm{M}$は$\mathrm{CE}$の中点なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}}{2}$
とかける。

これに
$\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\\ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\vec{b}+\vec{c}\\ \end{array}\right.$
を代入して、
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OM}}&=\dfrac{\vec{c}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)}{2}\\ &=\dfrac{\vec{b}+2\vec{c}}{2}\\ &=\dfrac{1}{2}\vec{b}+\vec{c} \end{align} $$ である。

解答ア：２

点$\mathrm{N}$は$\mathrm{AD}$を$3:1$に内分する点なので、
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\dfrac{1\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{3+1}$
とかける。

これに
$\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}\\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{a}+\vec{b}\\ \end{array}\right.$
を代入して、
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{ON}}&=\dfrac{\vec{a}+3\left(\vec{a}+\vec{b}\right)}{4}\\ &=\dfrac{\overrightarrow{4a}+3\vec{b}}{4}\\ &=\vec{a}+\dfrac{3}{4}\vec{b} \end{align} $$ である。

解答イ：３, ウ：４

点$\mathrm{O}$から、$\mathrm{FL}$を$s:(1-s)$に内分する点$\mathrm{P}$へのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OF}}+s\overrightarrow{\mathrm{OL}}$
とかける。

これに
$\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\vec{a}+\vec{c}\\ \overrightarrow{\mathrm{OL}}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{2}=\dfrac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}\\ \end{array}\right.$
を代入して、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\left(\vec{a}+\vec{c}\right)+s\left(\dfrac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}\right)$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\overrightarrow{\mathrm{OP}}}&=(1-s)\vec{a}+(1-s)\vec{c}+\dfrac{s}{2}\vec{a}+s\vec{b}\\ &=\left(1-s+\dfrac{s}{2}\right)\vec{a}+s\vec{b}+(1-s)\vec{c} \end{align} $$

$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{OP}}}=\left(1-\dfrac{s}{2}\right)\vec{a}+s\vec{b}+(1-s)\vec{c}$式Ａ
と書ける。

解答エ：１, オ：２, カ：１

よって、$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\overrightarrow{\mathrm{MP}}}&=\left\{\left(1-\dfrac{s}{2}\right)\vec{a}+s\vec{b}+(1-s)\vec{c}\right\}\\ &\hspace{170px}-\left(\dfrac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}\right)\\ &=\left(1-\dfrac{s}{2}\right)\vec{a}+\left(s-\dfrac{1}{2}\right)\vec{b}\\ &\hspace{170px}+(1-s-1)\vec{c} \end{align} $$

$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{MP}}}=\left(1-\dfrac{s}{2}\right)\vec{a}+\left(s-\dfrac{1}{2}\right)\vec{b}-s\vec{c}$
式Ｂ
となる。

また、$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\overrightarrow{\mathrm{MN}}}&=\left(\vec{a}+\dfrac{3}{4}\vec{b}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}\right)\\ &=\vec{a}+\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}\right)\vec{b}-\vec{c} \end{align} $$

$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{MN}}}=\vec{a}+\dfrac{1}{4}\vec{b}-\vec{c}$
である。
よって、$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=k\overrightarrow{\mathrm{MN}}$となる$k$が存在するならば、
$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=k\left(\vec{a}+\dfrac{1}{4}\vec{b}-\vec{c}\right)$
より、
$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=k\vec{a}+\dfrac{k}{4}\vec{b}-k\vec{c}$式Ｃ
となる。

式Ｂ=式Ｃなので、
$\left\{\begin{array}{l} 1-\dfrac{s}{2}=k\\ s-\dfrac{1}{2}=\dfrac{k}{4}\\ -s=-k \end{array}\right.$式Ｄ
のすべてを満たす$s$，$k$が存在するならば、点ＰはMN上にある。

式Ｄの一番下の式より、
$s=k$
なので、これを他の２式に代入して、
$\left\{\begin{array}{l} 1-\dfrac{s}{2}=s\\ s-\dfrac{1}{2}=\dfrac{s}{4} \end{array}\right.$
となる。
上の式より、
$2-s=2s$
$3s=2$
$s=\dfrac{2}{3}$
$k=\dfrac{2}{3}$
下の式より、
$4s-2=s$
$3s=2$
$s=\dfrac{2}{3}$
$k=\dfrac{2}{3}$
となって、$s=k=\dfrac{2}{3}$のとき、式Ｄのすべての式が成り立つ。
つまり、式Ｄのすべてを満たす$s$，$k$が存在するので、Ｍ，Ｎ，Ｐは一直線上にある。

解答キ：２, ク：３, ケ：２, コ：３

式Ａの$s$が$\dfrac{2}{3}$のときの点Ｐが点Ｇなので、
$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\left(1-\dfrac{\cfrac{2}{3}}{2}\right)\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}+\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\vec{c}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\overrightarrow{\mathrm{OG}}}&=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}+\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\vec{c}\\ &=\dfrac{2}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}+\dfrac{1}{3}\vec{c} \end{align} $$

$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{OG}}}=\dfrac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)$式Ｅ
となる。

解答サ：１, シ：３, ス：２, セ：２

よって、$\overrightarrow{\mathrm{GF}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{GF}}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\overrightarrow{\mathrm{GF}}}&=\left(\vec{a}+\vec{c}\right)-\dfrac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)\\ &=\dfrac{1}{3}\left(3\vec{a}+3\vec{c}\right)-\dfrac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right) \end{align} $$

$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{GF}}}=\dfrac{1}{3}\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)$式Ｆ
である。

解答ソ：２

式Ｆより、
$$ \begin{align} \left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|^{2}&=\left|\dfrac{1}{3}\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)\right|^{2}\\ &=\dfrac{1}{3^{2}}\left|\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)\right|^{2}\\ &=\dfrac{1}{3^{2}}\left(\begin{aligned}& \left|\vec{a}\right|^{2}+4\left|\vec{b}\right|^{2}+4\left|\vec{c}\right|^{2} \\&\qquad-4\vec{a}\cdot\vec{b}-8\vec{b}\cdot\vec{c}+4\vec{c}\cdot\vec{a}\end{aligned}\right) \end{align} $$ とかける。

ここで、$\left|\vec{a}\right|=\sqrt{5}$，$\left|\vec{b}\right|=4$，$\left|\vec{c}\right|=\sqrt{3}$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=0$なので、
$$ \begin{align} \left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|^{2}&=\dfrac{1}{3^{2}}(5+4\cdot 16+4\cdot 3)\\ &=\dfrac{81}{3^{2}} \end{align} $$ $0 \lt \left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|$なので、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|=\dfrac{9}{3}=3$
となる。

解答タ：３

$\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}$
これは、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\vec{c}$および式Ｅより、
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{GH}}&=t\vec{c}-\dfrac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)\\ &=\dfrac{1}{3}\cdot 3t\vec{c}-\dfrac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)\\ &=\dfrac{1}{3}\left\{-2\vec{a}-2\vec{b}+(3t-1)\vec{c}\right\} \class{tex_formula}{式Ｇ} \end{align} $$ とかける。

式Ｆ，式Ｇより、$\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}$は、
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}&=\left\{\dfrac{1}{3}\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)\right\}\\ &\hspace{40px}\cdot\left[\dfrac{1}{3}\left\{-2\vec{a}-2\vec{b}+(3t-1)\vec{c}\right\}\right]\\ &=\dfrac{1}{9}\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)\\ &\hspace{40px}\cdot\left\{-2\vec{a}-2\vec{b}+(3t-1)\vec{c}\right\}\\ &=\dfrac{1}{9}\left\{\begin{aligned}& -2\left|\vec{a}\right|^{2}+4\left|\vec{b}\right|^{2}\\&\qquad+2(3t-1)\left|\vec{c}\right|^{2}\end{aligned}\right\}\\ &=\dfrac{1}{9}\{-2\cdot 5+4\cdot 16+2(3t-1)\cdot 3\} \end{align} $$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}}&=\dfrac{1}{9}(-10+4\cdot 16+2\cdot 9t-6)\\ &=\dfrac{1}{9}(9\cdot 2t+4\cdot 16-16)\\ &=\dfrac{1}{9}(9\cdot 2t+3\cdot 16) \end{align} $$

$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}}=2t+\dfrac{16}{3}$①
となる。

解答チ：２, ツ：１, テ：６, ト：３

$\angle \mathrm{FGH}=\angle \mathrm{MGH}=\theta$とすると、
$\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot\cos\theta$ $\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{GM}}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot\cos\theta$ とかける。

これは、$\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|=3$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{GM}}\right|=2$より、
$\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}=3\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot\cos\theta$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}}{3}$式Ｈ $\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}=2\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot\cos\theta$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}}{2}$式Ｉ となる。
式Ｈ=式Ｉなので、
$\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}}{3}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}}{2}$
$\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}$
である。

解答ナ：３, ニ：２

これに①，②を代入して、
$2t+\dfrac{16}{3}=\dfrac{3}{2}\left(2t+\dfrac{10}{3}\right)$
$2t+\dfrac{16}{3}=3t+5$
両辺を$3$倍して分母を払って、
$6t+16=9t+15$
$3t=1$
$t=\dfrac{1}{3}$
となる。

解答ヌ：１, ネ：３