大学入試センター試験 2012年(平成24年) 本試 数学ⅡB 第4問 解説
(1)
点$\mathrm{M}$は$\mathrm{CE}$の中点なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}}{2}$
とかける。
これに
$\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\\
\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\vec{b}+\vec{c}\\
\end{array}\right.$
を代入して、
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{OM}}&=\dfrac{\vec{c}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)}{2}\\
&=\dfrac{\vec{b}+2\vec{c}}{2}\\
&=\dfrac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}
\end{align}
$$
である。
解答ア:2
点$\mathrm{N}$は$\mathrm{AD}$を$3:1$に内分する点なので、
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\dfrac{1\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{3+1}$
とかける。
これに
$\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}\\
\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{a}+\vec{b}\\
\end{array}\right.$
を代入して、
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{ON}}&=\dfrac{\vec{a}+3\left(\vec{a}+\vec{b}\right)}{4}\\
&=\dfrac{\overrightarrow{4a}+3\vec{b}}{4}\\
&=\vec{a}+\dfrac{3}{4}\vec{b}
\end{align}
$$
である。
解答イ:3, ウ:4
別解
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CM}}$
MはCEの中点なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CE}}$
ここで、
$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}}$
$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$
$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\vec{b}+\vec{c}$
より、
$\overrightarrow{\mathrm{CE}}=\vec{b}$
と書ける。
よって、
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\vec{c}+\dfrac{1}{2}\vec{b}$
である。
解答ア:2
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AN}}$
NはADを$3:1$に内分する点なので、
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
ここで、
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{a}+\vec{b}$
より、
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{b}$
と書ける。
よって、
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\vec{a}+\dfrac{3}{4}\vec{b}$
である。
解答イ:3, ウ:4
(2)
点$\mathrm{O}$から、$\mathrm{FL}$を$s:(1-s)$に内分する点$\mathrm{P}$へのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OF}}+s\overrightarrow{\mathrm{OL}}$
とかける。
これに
$\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\vec{a}+\vec{c}\\
\overrightarrow{\mathrm{OL}}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{2}=\dfrac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}\\
\end{array}\right.$
を代入して、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\left(\vec{a}+\vec{c}\right)+s\left(\dfrac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}\right)$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{\overrightarrow{\mathrm{OP}}}&=(1-s)\vec{a}+(1-s)\vec{c}+\dfrac{s}{2}\vec{a}+s\vec{b}\\
&=\left(1-s+\dfrac{s}{2}\right)\vec{a}+s\vec{b}+(1-s)\vec{c}
\end{align}
$$
と書ける。
解答エ:1, オ:2, カ:1
よって、$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{\overrightarrow{\mathrm{MP}}}&=\left\{\left(1-\dfrac{s}{2}\right)\vec{a}+s\vec{b}+(1-s)\vec{c}\right\}\\
&\hspace{170px}-\left(\dfrac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}\right)\\
&=\left(1-\dfrac{s}{2}\right)\vec{a}+\left(s-\dfrac{1}{2}\right)\vec{b}\\
&\hspace{170px}+(1-s-1)\vec{c}
\end{align}
$$
式B
となる。
また、$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{\overrightarrow{\mathrm{MN}}}&=\left(\vec{a}+\dfrac{3}{4}\vec{b}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}\right)\\
&=\vec{a}+\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}\right)\vec{b}-\vec{c}
\end{align}
$$
である。
よって、$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=k\overrightarrow{\mathrm{MN}}$となる$k$が存在するならば、
$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=k\left(\vec{a}+\dfrac{1}{4}\vec{b}-\vec{c}\right)$
より、
$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=k\vec{a}+\dfrac{k}{4}\vec{b}-k\vec{c}$式C
となる。
式B=式Cなので、
$\left\{\begin{array}{l}
1-\dfrac{s}{2}=k\\
s-\dfrac{1}{2}=\dfrac{k}{4}\\
-s=-k
\end{array}\right.$式D
のすべてを満たす$s$,$k$が存在するならば、点PはMN上にある。
式Dの一番下の式より、
$s=k$
なので、これを他の2式に代入して、
$\left\{\begin{array}{l}
1-\dfrac{s}{2}=s\\
s-\dfrac{1}{2}=\dfrac{s}{4}
\end{array}\right.$
となる。
上の式より、
$2-s=2s$
$3s=2$
$s=\dfrac{2}{3}$
$k=\dfrac{2}{3}$
下の式より、
$4s-2=s$
$3s=2$
$s=\dfrac{2}{3}$
$k=\dfrac{2}{3}$
となって、$s=k=\dfrac{2}{3}$のとき、式Dのすべての式が成り立つ。
つまり、式Dのすべてを満たす$s$,$k$が存在するので、M,N,Pは一直線上にある。
解答キ:2, ク:3, ケ:2, コ:3
(3)
式Aの$s$が$\dfrac{2}{3}$のときの点Pが点Gなので、
$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\left(1-\dfrac{\cfrac{2}{3}}{2}\right)\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}+\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\vec{c}$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{\overrightarrow{\mathrm{OG}}}&=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}+\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\vec{c}\\
&=\dfrac{2}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}+\dfrac{1}{3}\vec{c}
\end{align}
$$
となる。
解答サ:1, シ:3, ス:2, セ:2
よって、$\overrightarrow{\mathrm{GF}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{GF}}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{\overrightarrow{\mathrm{GF}}}&=\left(\vec{a}+\vec{c}\right)-\dfrac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)\\
&=\dfrac{1}{3}\left(3\vec{a}+3\vec{c}\right)-\dfrac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)
\end{align}
$$
である。
解答ソ:2
式Fより、
$$
\begin{align}
\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|^{2}&=\left|\dfrac{1}{3}\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)\right|^{2}\\
&=\dfrac{1}{3^{2}}\left|\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)\right|^{2}\\
&=\dfrac{1}{3^{2}}\left(\begin{aligned}& \left|\vec{a}\right|^{2}+4\left|\vec{b}\right|^{2}+4\left|\vec{c}\right|^{2} \\&\qquad-4\vec{a}\cdot\vec{b}-8\vec{b}\cdot\vec{c}+4\vec{c}\cdot\vec{a}\end{aligned}\right)
\end{align}
$$
とかける。
ここで、$\left|\vec{a}\right|=\sqrt{5}$,$\left|\vec{b}\right|=4$,$\left|\vec{c}\right|=\sqrt{3}$,$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=0$なので、
$$
\begin{align}
\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|^{2}&=\dfrac{1}{3^{2}}(5+4\cdot 16+4\cdot 3)\\
&=\dfrac{81}{3^{2}}
\end{align}
$$
$0 \lt \left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|$なので、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|=\dfrac{9}{3}=3$
となる。
解答タ:3
$\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}$
これは、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\vec{c}$および式Eより、
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{GH}}&=t\vec{c}-\dfrac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)\\
&=\dfrac{1}{3}\cdot 3t\vec{c}-\dfrac{1}{3}\left(2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}\right)\\
&=\dfrac{1}{3}\left\{-2\vec{a}-2\vec{b}+(3t-1)\vec{c}\right\} \class{tex_formula}{式G}
\end{align}
$$
とかける。
式F,式Gより、$\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}$は、
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}&=\left\{\dfrac{1}{3}\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)\right\}\\
&\hspace{40px}\cdot\left[\dfrac{1}{3}\left\{-2\vec{a}-2\vec{b}+(3t-1)\vec{c}\right\}\right]\\
&=\dfrac{1}{9}\left(\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}\right)\\
&\hspace{40px}\cdot\left\{-2\vec{a}-2\vec{b}+(3t-1)\vec{c}\right\}\\
&=\dfrac{1}{9}\left\{\begin{aligned}& -2\left|\vec{a}\right|^{2}+4\left|\vec{b}\right|^{2}\\&\qquad+2(3t-1)\left|\vec{c}\right|^{2}\end{aligned}\right\}\\
&=\dfrac{1}{9}\{-2\cdot 5+4\cdot 16+2(3t-1)\cdot 3\}
\end{align}
$$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}}&=\dfrac{1}{9}(-10+4\cdot 16+2\cdot 9t-6)\\
&=\dfrac{1}{9}(9\cdot 2t+4\cdot 16-16)\\
&=\dfrac{1}{9}(9\cdot 2t+3\cdot 16)
\end{align}
$$
となる。
解答チ:2, ツ:1, テ:6, ト:3
$\angle \mathrm{FGH}=\angle \mathrm{MGH}=\theta$とすると、
$\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot\cos\theta$
$\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{GM}}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot\cos\theta$
とかける。
これは、$\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|=3$,$\left|\overrightarrow{\mathrm{GM}}\right|=2$より、
$\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}=3\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot\cos\theta$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}}{3}$式H
$\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}=2\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot\cos\theta$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}}{2}$式I
となる。
式H=式Iなので、
$\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}}{3}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}}{2}$
$\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GH}}$
である。
解答ナ:3, ニ:2
これに①,②を代入して、
$2t+\dfrac{16}{3}=\dfrac{3}{2}\left(2t+\dfrac{10}{3}\right)$
$2t+\dfrac{16}{3}=3t+5$
両辺を$3$倍して分母を払って、
$6t+16=9t+15$
$3t=1$
$t=\dfrac{1}{3}$
となる。
解答ヌ:1, ネ:3