曲線$C$の式を微分して、
$y'=3x^{2}$
これに点Ｐの$x$座標を代入して、接線の傾きは$3a^{2}$である。

傾きが$3a^{2}$の直線が点Ｐ$(a,a^{3})$を通るので、求める接線は
$y-a^{3}=3a^{2}(x-a)$
となる。

これを整理して、
$$ \begin{align} y&=3a^{2}(x-a)+a^{3}\\ &=3a^{2}x-3a^{3}+a^{3}\\ &=3a^{2}x-2a^{3} \end{align} $$ である。

解答ア：２, イ：２, ウ：３

放物線$D$が点Ｐを通るので、$D$の式に点Ｐの座標を代入して、
$a^{3}=a^{2}+ap+q$式Ａ

点Ｐにおける放物線$D$の接線の傾きは、放物線$D$の式を微分して、
$y'=2x+p$
これに点Ｐの$x$座標を代入して、接線の傾きは$2a+p$である。
点Ｐにおける曲線$C$と放物線$D$の接線の傾きは等しいので、
$3a^{2}=2a+p$式Ｂ
となる。

式Ａと式Ｂの連立方程式を解く。
式Ｂより、
$p=3a^{2}-2a$
これを式Ａに代入して、
$a^{3}=a^{2}+a(3a^{2}-2a)+q$
$$ \begin{align} q&=a^{3}-a^{2}-a(3a^{2}-2a)\\ &=a^{3}-a^{2}-3a^{3}+2a^{2}\\ &=-2a^{3}+a^{2} \end{align} $$ である。

解答エ：２, オ：２, カ：－, キ：２, ク：２

「以下、$p$，$q$は①を満たす」ので、この結果を放物線Ｄの式に代入して$p$，$q$を消しておこう。
放物線Ｄの式は
$y=x^{2}+(3a^{2}-2a)x-2a^{3}+a^{2}$式Ｃ
となる。

放物線$D$が点Ｑを通るので、式Ｃに点Ｑの座標を代入して、
$b=-2a^{3}+a^{2}$②
となる。

解答ケ：－, コ：２, サ：２

次は、定数項に文字を含む高次方程式の、実数解の個数の問題だ。
このタイプの問題は、決まった解き方をするので憶えておこう。
詳しくはこのページ参照。

まず、方程式の解を求める文字が$a$だと分かりにくいので、問題の指示通り②式の右辺の$a$を$x$に置き換えると、
$b=-2x^{3}+x^{2}$
となる。
これを、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
y=-2x^{3}+x^{2}\\
y=b
\end{array}\right.$②'
と考えて、２つの式の共有点の数を求める方針で解こう。

まず②'の上側の式のグラフを描く。
微分して、
$$ \begin{align} y'&=-6x^{2}+2x\\ &=-2x(3x-1) \end{align} $$ より、$x=0,\ \dfrac{1}{3}$のとき$y'=0$である。

②'の上側の式に$x=0,\dfrac{1}{3}$を代入して、
$x=0$のとき
$y=0$ $x=\dfrac{1}{3}$のとき
$$ \begin{align} y&=-2\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\\ &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}\cdot(-2+3)\\ &=\dfrac{1}{27} \end{align} $$ これをもとに増減表を書くと、

表Ｂ

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{1}{3}$	$\cdots$
$y'$	-	$0$	$+$	$0$	-
$y$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$\dfrac{1}{27}$	$\searrow$

となる。

表Ｂより、
$x=0$のとき、極小値$0$ $x=\dfrac{1}{3}$のとき、極大値$\dfrac{1}{27}$ をとる。

解答シ：０, ス：０, セ：１, ソ：３, タ：１, チ：２, ツ：７

表Ｂからグラフを描くと、図Ｃができる。

$0 \lt b \lt \dfrac{1}{27}$のとき、$y=b$のグラフは図Ｃの緑の範囲に入る。
このとき、②'の２つのグラフは３点で交わる。
よって、②を満たす$a$の個数は３である。

解答テ：３

$a=0$のとき、式Ｃは
$y=x^{2}$式Ｄ
となり、これが$D_{1}$の式、
$a=\dfrac{4}{9}$のとき、式Ｃは
$\begin{aligned}y&=x^{2}+\left\{3\cdot\left(\dfrac{4}{9}\right)^{2}-2\cdot\dfrac{4}{9}\right\}x\\&\hspace{100px}-2\cdot\left(\dfrac{4}{9}\right)^{3}+\left(\dfrac{4}{9}\right)^{2}\end{aligned}$
式Ｅ
となり、これが$D_{2}$の式である。

$D_{1}$と$D_{2}$と$x$軸に囲まれた図形の面積を$S$とする。
$D_{1}$と$D_{2}$の交点と、それぞれの頂点の$x$座標を求めて、
$\displaystyle S=\int_{\text{頂点}}^{\text{交点}}D_{1}\,dx+\int_{\text{交点}}^{\text{頂点}}D_{2}\,dx$式Ｆ
という計算をするのは.....嫌だねぇ。
計算してみると分かるけど、式Ｆは
$\begin{aligned}S=\int_{0}^{\tfrac{2}{27}}& x^{2}\,dx\\&+\int_{\tfrac{2}{27}}^{\tfrac{4}{27}}\left(x^{2}-\dfrac{8}{27}x+\dfrac{16}{729}\right)\,dx\end{aligned}$
という式になる。こんな計算は絶対にしたくないので、もっと楽な方法を考えよう。

２つの放物線の頂点の$x$座標から始めよう。
$D_{1}$の頂点は原点だけど、$D_{2}$は面倒だ。式Ｅを平方完成するのは避けたいので、ここでちょっと思い出そう。

復習

$y=ax^{2}+bx+c$のグラフの頂点の$x$座標は
$\dfrac{-b}{2a}$
だった。

これを使おう。

式Ｅと復習より、$D_{2}$の頂点の$x$座標は、
$\dfrac{-\left\{3\cdot\left(\cfrac{4}{9}\right)^{2}-2\cdot\cfrac{4}{9}\right\}}{2\cdot 1}$

途中式

$$ \begin{align} \qquad&=\dfrac{\cfrac{4}{9}\left(-3\cdot\cfrac{4}{9}+2\right)}{2}\\ &=\dfrac{2}{9}\left(-\dfrac{4}{3}+2\right)\\ &=\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{2}{3} \end{align} $$

$\qquad=\dfrac{4}{27}$
となるから、$D_{1}$と$D_{2}$は図Ｄのようなグラフになる。

$D_{1}$と$D_{2}$は合同で頂点の$y$座標も等しいので、交点の$x$座標は２つの頂点の中央になる。
よって、交点の$x$座標は
$\dfrac{0+\cfrac{4}{27}}{2}=\dfrac{2}{27}$
である。

また、面積を求める斜線の図形は左右対称になるから、左半分（紫色に見えるけど青い部分）と右半分（緑色の部分）の面積は等しい。
なので、左半分の面積を求めて２倍する方針で解こう。

図Ｄの青い部分の面積を２倍すると、求める面積$S$なので、
$\displaystyle S=2\int_{0}^{\tfrac{2}{27}}x^{2}\,dx$
となる。これを計算するのだけれど、ヌネノを見ると答は因数分解した形になっているので、$\dfrac{2}{27}$は$\dfrac{2}{3^{3}}$としておこう。
この式を積分して、
$S=2\left[\dfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{\tfrac{2}{3^{3}}}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{S}&=2\left\{\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{2}{3^{3}}\right)^{3}-0\right\}\\ &=2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{2}{3^{3}}\right)^{3}\\ &=2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2^{3}}{3^{9}} \end{align} $$

$\phantom{S}=\dfrac{2^{4}}{3^{10}}$
である。

解答ヌ：４, ネ：１, ノ：０