大学入試センター試験 2012年(平成24年) 本試 数学ⅡB 第2問 解説

(1)

曲線$C$の式を微分して、
$y'=3x^{2}$
これに点Pの$x$座標を代入して、接線の傾きは$3a^{2}$である。

傾きが$3a^{2}$の直線が点P$(a,a^{3})$を通るので、求める接線は
$y-a^{3}=3a^{2}(x-a)$
となる。

これを整理して、
$y=3a^{2}(x-a)+a^{3}$
$y$$=3a^{2}x-3a^{3}+a^{3}$
$y$$=3a^{2}x-2a^{3}$
である。

解答ア:2, イ:2, ウ:3


図A
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第2問 解説図A

放物線$D$が点Pを通るので、$D$の式に点Pの座標を代入して、
$a^{3}=a^{2}+ap+q$式A

点Pにおける放物線$D$の接線の傾きは、放物線$D$の式を微分して、
$y'=2x+p$
これに点Pの$x$座標を代入して、接線の傾きは$2a+p$である。
点Pにおける曲線$C$と放物線$D$の接線の傾きは等しいので、
$3a^{2}=2a+p$式B
となる。

式Aと式Bの連立方程式を解く。
式Bより、
$p=3a^{2}-2a$
これを式Aに代入して、
$a^{3}=a^{2}+a(3a^{2}-2a)+q$
$q=a^{3}-a^{2}-a(3a^{2}-2a)$
$q$$=a^{3}-a^{2}-3a^{3}+2a^{2}$
$q$$=-2a^{3}+a^{2}$
である。

解答エ:2, オ:2, カ:-, キ:2, ク:2

「以下、$p$,$q$は①を満たす」ので、この結果を放物線Dの式に代入して$p$,$q$を消しておこう。
放物線Dの式は
$y=x^{2}+(3a^{2}-2a)x-2a^{3}+a^{2}$式C
となる。

(2)

放物線$D$が点Qを通るので、式Cに点Qの座標を代入して、
$b=-2a^{3}+a^{2}$
となる。

解答ケ:-, コ:2, サ:2


次は、定数項に文字を含む高次方程式の、実数解の個数の問題だ。
このタイプの問題は、決まった解き方をするので憶えておこう。
詳しくはこのページ参照。

まず、方程式の解を求める文字が$a$だと分かりにくいので、問題の指示通り②式の右辺の$a$を$x$に置き換えると、
$b=-2x^{3}+x^{2}$
となる。
これを、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
y=-2x^{3}+x^{2}\\
y=b
\end{array}\right.$②'
と考えて、2つの式の共有点の数を求める方針で解こう。

まず②'の上側の式のグラフを描く。
微分して、
$y'=-6x^{2}+2x$
$y'=$$-2x(3x-1)$
より、$x=0,\displaystyle \frac{1}{3}$のとき$y'=0$である。

②'の上側の式に$x=0,\displaystyle \frac{1}{3}$を代入して、
$x=0$のとき
$y=0$
$x=\displaystyle \frac{1}{3}$のとき
$y=-2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$
$y$$=\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\cdot(-2+3)$
$y\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{27}$
これをもとに増減表を書くと、

表B
$x$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $\displaystyle \frac{1}{3}$ $\cdots$
$y'$ - $0$ $+$ $0$ -
$y$ $\searrow$ $0$ $\nearrow$ $\displaystyle \frac{1}{27}$ $\searrow$

となる。

表Bより、
$x=0$のとき、極小値$0$ $x=\displaystyle \frac{1}{3}$のとき、極大値$\displaystyle \frac{1}{27}$ をとる。

解答シ:0, ス:0, セ:1, ソ:3, タ:1, チ:2, ツ:7

表Bからグラフを描くと、図Cができる。

図C
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第2問 解説図C

$0 \lt b \lt \displaystyle \frac{1}{27}$のとき、$y=b$のグラフは図Cの緑の範囲に入る。
このとき、②'の2つのグラフは3点で交わる。
よって、②を満たす$a$の個数は3である。

解答テ:3

(3)

放物線Dの頂点が$x$軸上にあるので、式Cの判別式が$0$になればよいから、
$D=(3a^{2}-2a)^{2}-4\cdot(-2a^{3}+a^{2})=0$
途中式 $D=$$\{a(3a-2)\}^{2}-4a^{2}\cdot(-2a+1)=0$
$D=$$ a^{2}\cdot\{(3a-2)^{2}-4\cdot(-2a+1)\}=0$
$D=$$ a^{2}(9a^{2}-12a+4+8a-4)=0$
$D=$$ a^{2}(9a^{2}-4a)=0$
より、
$a=0,\displaystyle \frac{4}{9}$
である。

解答ト:0, ナ:4, ニ:9


$a=0$のとき、式Cは
$y=x^{2}$式D
となり、これが$D_{1}$の式、
$a=\displaystyle \frac{4}{9}$のとき、式Cは
$y=x^{2}+\left\{3\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^{2}-2\cdot\frac{4}{9}\right\}x-2\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^{3}+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}$
       式E
となり、これが$D_{2}$の式である。

$D_{1}$と$D_{2}$と$x$軸に囲まれた図形の面積を$S$とする。
$D_{1}$と$D_{2}$の交点と、それぞれの頂点の$x$座標を求めて、
$S=\displaystyle \int_{\text{頂点}}^{\text{交点}}D_{1}dx+\int_{\text{交点}}^{\text{頂点}}D_{2}dx$式F
という計算をするのは.....嫌だねぇ。
計算してみると分かるけど、式Fは
$S=\displaystyle \int_{0}^{\frac{2}{27}}x^{2}dx+\int_{\frac{2}{27}}^{\frac{4}{27}}\left(x^{2}-\frac{8}{27}x+\frac{16}{729}\right)dx$
という式になる。こんな計算は絶対にしたくないので、もっと楽な方法を考えよう。


2つの放物線の頂点の$x$座標から始めよう。
$D_{1}$の頂点は原点だけど、$D_{2}$は面倒だ。式Eを平方完成するのは避けたいので、ここでちょっと思い出そう。

復習

$y=ax^{2}+bx+c$のグラフの頂点の$x$座標は
$\displaystyle \frac{-b}{2a}$
だった。

これを使おう。

式Eと復習より、$D_{2}$の頂点の$x$座標は、
$\displaystyle \frac{-\left\{3\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^{2}-2\cdot\frac{4}{9}\right\}}{2\cdot 1}$
途中式 $=\displaystyle \frac{\frac{4}{9}\left(-3\cdot\frac{4}{9}+2\right)}{2}$
$=\displaystyle \frac{2}{9}\left(-\frac{4}{3}+2\right)$
$=\displaystyle \frac{2}{9}\cdot\frac{2}{3}$
$=\displaystyle \frac{4}{27}$
となるから、$D_{1}$と$D_{2}$は図Dのようなグラフになる。

図D
大学入試センター試験2012年本試 数学ⅡB第2問 解説図D

$D_{1}$と$D_{2}$は合同で頂点の$y$座標も等しいので、交点の$x$座標は2つの頂点の中央になる。
よって、交点の$x$座標は
$\displaystyle \frac{0+\frac{4}{27}}{2}=\frac{2}{27}$
である。

また、面積を求める斜線の図形は左右対称になるから、左半分(紫色に見えるけど青い部分)と右半分(緑色の部分)の面積は等しい。
なので、左半分の面積を求めて2倍する方針で解こう。


図Dの青い部分の面積を2倍すると、求める面積$S$なので、
$S=2\displaystyle \int_{0}^{\frac{2}{27}}x^{2}dx$
となる。これを計算するのだけれど、ヌネノを見ると答は因数分解した形になっているので、$\displaystyle \frac{2}{27}$は$\displaystyle \frac{2}{3^{3}}$としておこう。
この式を積分して、
$S=2\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{\frac{2}{3^{3}}}$
途中式 $S$$=2\left\{\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2}{3^{3}}\right)^{3}-0\right\}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =2\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2}{3^{3}}\right)^{3}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2^{3}}{3^{9}}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2^{4}}{3^{10}}$
である。

解答ヌ:4, ネ:1, ノ:0