９枚から５枚取り出すので、
${}_{9}\mathrm{C}_{5}={}_{9}\mathrm{C}_{4}$
${}_{9}\mathrm{C}_{5}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
${}_{9}\mathrm{C}_{5}$$=9\cdot 2\cdot 7$式Ａ
${}_{9}\mathrm{C}_{5}$$=126$
である。

解答ア：１, イ：２, ウ：６

５のカードが含まれているので、１枚の５と、それ以外のカードが４枚出ればよい。
５の出かたは１通り。 それ以外のカード４枚の出かたは${}_{8}\mathrm{C}_{4}$通り。 以上より、求める場合の数は
$1\displaystyle \times {}_{8}\mathrm{C}_{4}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
$1\times {}_{8}\mathrm{C}_{4}$$=2\cdot 7\cdot 5$
$1\times {}_{8}\mathrm{C}_{4}$$=70$
である。

解答エ：７, オ：０

得点が０点となるのは、５が出ないときなので、確率は$\displaystyle \frac{\text{式Ｂ}}{\text{式Ａ}}$より、
$\displaystyle \frac{8\cdot 7}{9\cdot 2\cdot 7}=\frac{4}{9}$
である。

解答ク：４, ケ：９

得点が１点になるのは
５が出る。 ５より小さい数字のカードが出ない。 ５より大きい数字のカードが４枚出る。
→６，７，８，９の４枚から４枚出る。 とき。
５の出かたは１通り。 それ以外のカード４枚の出かたは${}_{4}\mathrm{C}_{4}$通り。 すべての場合の数は、$126$通り。 以上より、求める確率は、
$\displaystyle \frac{1\times {}_{4}\mathrm{C}_{4}}{126}=\frac{1}{126}$
である。

解答コ：１, サ：１, シ：２, ス：６

得点が２点になるのは、
５が出る。 ５より小さい数字のカードが１枚出る。
→１，２，３，４の４枚から１枚出る。 ５より大きい数字のカードが３枚出る。
→６，７，８，９の４枚から３枚出る。 とき。
５の出かたは１通り。 それ以外のカード４枚の出かたは${}_{4}\mathrm{C}_{1} imes {}_{4}\mathrm{C}_{3}$通り。 すべての場合の数は、$9\cdot 2\cdot 7$通り。 以上より、求める確率は、
$\displaystyle \frac{1\times {}_{4}\mathrm{C}_{1}\times {}_{4}\mathrm{C}_{3}}{9\cdot 2\cdot 7}=\frac{1\times {}_{4}\mathrm{C}_{1}\times {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{9\cdot 2\cdot 7}$
$\displaystyle \frac{1\times {}_{4}\mathrm{C}_{1}\times {}_{4}\mathrm{C}_{3}}{9\cdot 2\cdot 7}$$\displaystyle =\frac{4\cdot 4}{9\cdot 2\cdot 7}$
$\displaystyle \frac{1\times {}_{4}\mathrm{C}_{1}\times {}_{4}\mathrm{C}_{3}}{9\cdot 2\cdot 7}$$\displaystyle =\frac{4\cdot 2}{9\cdot 7}$
$\displaystyle \frac{1\times {}_{4}\mathrm{C}_{1}\times {}_{4}\mathrm{C}_{3}}{9\cdot 2\cdot 7}$$\displaystyle =\frac{8}{63}$
である。

解答セ：８, ソ：６, タ：３

得点が３点になるのは、
５が出る。 ５より小さい数字のカードが２枚出る。
→１，２，３，４の４枚から２枚出る。 ５より大きい数字のカードが２枚出る。
→６，７，８，９の４枚から２枚出る。 とき。
５の出かたは１通り。 それ以外のカード４枚の出かたは${}_{4}\mathrm{C}_{2} imes {}_{4}\mathrm{C}_{2}$通り。 すべての場合の数は、$9\cdot 2\cdot 7$通り。 以上より、求める確率は、
$\displaystyle \frac{1\times {}_{4}\mathrm{C}_{2}\times {}_{4}\mathrm{C}_{2}}{9\cdot 2\cdot 7}=\frac{\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}\times\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}}{9\cdot 2\cdot 7}$
$\displaystyle \frac{1\times {}_{4}\mathrm{C}_{2}\times {}_{4}\mathrm{C}_{2}}{9\cdot 2\cdot 7}$$\displaystyle =\frac{2\cdot 3\times 2\cdot 3}{9\cdot 2\cdot 7}$
$\displaystyle \frac{1\times {}_{4}\mathrm{C}_{2}\times {}_{4}\mathrm{C}_{2}}{9\cdot 2\cdot 7}$$\displaystyle =\frac{2}{7}$
である。

解答チ：２, ツ：７

５より小さい数字のカードと、５より大きい数字のカードは同じ枚数なので、
５より小さいカードが０枚、５より大きいカードが４枚出る場合の数 ５より小さいカードが４枚、５より大きいカードが０枚出る場合の数 は等しい。
また、
５より小さいカードが１枚、５より大きいカードが３枚出る場合の数 ５より小さいカードが３枚、５より大きいカードが１枚出る場合の数 も等しい。
なので、
得点が１点の確率と、得点が５点の確率は等しい。 得点が２点の確率と、得点が４点の確率は等しい。 ことが分かる。

以上から期待値を求める表をつくると、

表Ａより、求める期待値は、
$\displaystyle \frac{1\cdot 1+(4\cdot 4)\cdot 2+(2\cdot 2\cdot 3\cdot 3)\cdot 3+(4\cdot 4)\cdot 4+1\cdot 5}{9\cdot 2\cdot 7}$
である。これを計算する。
このくらいの数なら分子は展開してもいいんだけれど、練習のために因数分解して解いてみよう。
数学の計算の基本は因数分解である。「何となく展開」はダメ。
$=\displaystyle \frac{(4\cdot 4)\cdot(2+4)+(2\cdot 2\cdot 3\cdot 3)\cdot 3+1+5}{9\cdot 2\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{(4\cdot 4\cdot 6+6\cdot 6\cdot 3+6)}{9\cdot 2\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{6(4\cdot 4+6\cdot 3+1)}{9\cdot 2\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{6\cdot 35}{9\cdot 2\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{5}{3}$
となる。

解答テ：５, ト：３