$AB=\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{6}}\cdot\frac{1}{1-\sqrt{3}+\sqrt{6}}$
$AB\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{(1+\sqrt{6})+\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{(1+\sqrt{6})-\sqrt{3}}$
$AB\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{(1+\sqrt{6})^{2}-3}$

解答ア：３

さらに分母を展開して、
$AB=\displaystyle \frac{1}{4+2\sqrt{6}}$
$AB\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2-\sqrt{6}}{2(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6)}}$
$AB\displaystyle $$\displaystyle =\frac{\sqrt{6}-2}{4}$式Ａ

解答イ：２, ウ：４

$\displaystyle \frac{1}{A}+\frac{1}{B}=(1+\sqrt{3}+\sqrt{6})+(1-\sqrt{3}+\sqrt{6})$
$\displaystyle \frac{1}{A}+\frac{1}{B}$$\displaystyle =2+2\sqrt{6}$式Ｂ

解答エ：２, オ：２

ここまでは説明は不要だよね。
ここから、ちょっと頭を使う。

$\displaystyle \frac{1}{A}+\frac{1}{B}=\frac{A+B}{AB}$なので、
$A+B=AB\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\right)$
これに式Ａ・Ｂを代入して、
$A+B=\displaystyle \frac{\sqrt{6}-2}{4}\cdot(2+2\sqrt{6})$
$A+B\displaystyle $$\displaystyle =\frac{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+1)}{2}$
$A+B\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4-\sqrt{6}}{2}$

解答カ：４, キ：２