大学入試センター試験 2013年(平成25年) 本試 数学ⅠＡ 第１問 [2] 解説
(1)
復習
まず復習をすると、
$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$の逆は、$\mathrm{A}\Leftarrow \mathrm{B}$
$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$裏は、$\overline{\mathrm{A}}\Rightarrow\overline{\mathrm{B}}$
$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$の対偶は、$\overline{\mathrm{A}}\Leftarrow\overline{\mathrm{B}}$
だった。
よって、命題
$r\Rightarrow(p\cup q)$の対偶は、
$\overline{(p\cup q)}\Rightarrow\overline{r}$
さらにド・モルガンの法則より、
$(\overline{p}\cap\overline{q})\Rightarrow\overline{r}$
となる。
解答ク：１
(2)
０～４の三角形を、条件$p,q,r$に含まれるかどうか確認しよう。
| ０ | １ | ２ | ３ | ４ | |
|---|---|---|---|---|---|
| $p$ | × | ○ | × | ○ | × |
| $q$ | × | ○ | ○ | × | ○ |
| $p\cup q$ | × | ○ | ○ | ○ | ○ |
| $r$ | × | × | ○ | ○ | × |
$(p\cup q)\Rightarrow r$の反例なので、$p\cup q$に含まれていて$r$に含まれないものが答。
なので、１と４。
解答ケ：１, コ：４ （順不同）
(2)より、
$r\Leftarrow(p\cup q)$ ×
であることが分かっている。
あとは、
$r\Rightarrow(p\cup q)$ の○×を調べて、
○ならば十分条件、
×ならば必要条件でも十分条件でもない
である。
でも、$r\Rightarrow(p\cup q)$は分かりにくいので、(1)で考えた対偶を使おう。
$r\Rightarrow(p\cup q)$の対偶は、
$(\overline{p}\cap\overline{q})\Rightarrow\overline{r}$
これは、
$\overline{p}$：二等辺三角形（正三角形を含む）である。
$\overline{q}$：直角三角形である。
$\overline{r}$：$45^{\circ}$の内角がある。
を考えると、
直角二等辺三角形である$\Rightarrow 45^{\circ}$の内角がある
となる。
よって、○。
以上より、
$r$は$(p\cup q)$であるための十分条件。
解答：サ：２