大学入試センター試験 2019年(平成31年) 追試 数学ⅠＡ 第１問 [1] 解説
(1)
$f(x)=(1+\sqrt{2})x-\sqrt{3}a$式Ａ
が
$f(0)\leqq 6$
なので、式Ａより
$(1+\sqrt{2})\cdot 0-\sqrt{3}a\leqq 6$
$-\sqrt{3}a\leqq 6$
$\sqrt{3}a\geqq-6$式Ｂ
両辺を$\sqrt{3}$で割って、
$a\geqq-2\sqrt{3}$式Ｃ
となる。
解答：ア：－, イ：２, ウ：３
アドバイス
式Ｂから式Ｃへの変形は、
$a\displaystyle \geqq-\frac{6}{\sqrt{3}}$
としてから、右辺の分母を有理化して
$a\displaystyle \geqq-\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$a\displaystyle \geqq-\frac{6\sqrt{3}}{3}$
$a\geqq-2\sqrt{3}$
とする人が多いと思う。
けれど、式Ｂの右辺の$6$は$2\times 3$で、$3$は$\sqrt{3}^{2}$なので、式Ｂは
$\sqrt{3}a\geqq-2\sqrt{3}^{2}$
と書けるから、両辺を$\sqrt{3}$で割ると式Ｃができる。
文章で説明すると面倒な感じだけど、慣れると一瞬で計算できる。
この考え方は根号を含む分数の約分にも使えるので、マスターすることをお勧めする。
$f(6)\geqq 0$
となるのは、式Ａより
$(1+\sqrt{2})\cdot 6-\sqrt{3}a\geqq 0$
$\sqrt{3}a\leqq(1+\sqrt{2})\cdot 6$式Ｄ
両辺を$\sqrt{3}$で割って、
$a\leqq(1+\sqrt{2})\cdot 2\sqrt{3}$
$a\leqq 2\sqrt{3}+2\sqrt{6}$式Ｅ
となる。
解答エ：２, オ：３, カ：２, キ：６
または
エ：２, オ：６, カ：２, キ：３
アドバイス
式Ｄ以降は、分数にしてから有理化する方法だと、
$a\displaystyle \leqq\frac{(1+\sqrt{2})\cdot 6}{\sqrt{3}}$
$a\displaystyle \leqq\frac{(1+\sqrt{2})\cdot 6}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$a\displaystyle \leqq\frac{(1+\sqrt{2})\cdot 6\sqrt{3}}{3}$
$a\leqq(1+\sqrt{2})\cdot 2\sqrt{3}$
$a\leqq 2\sqrt{3}+2\sqrt{6}$
となる。
(2)
まず、イメージをつかむために数直線を描く。
$\mathrm{P}=-2\sqrt{3}$
$\mathrm{Q}=2\sqrt{3}+2\sqrt{6}$
で、中点を点$\mathrm{M}$とすると、次のような数直線ができる。
![大学入試センター試験2019年追試 数学ⅠＡ 第１問[1] 解説図Ａ](_image/1A_1_1_01.svg)
さらに、中点の座標の復習をしておこう。
復習
２点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の中点の座標は、
$\displaystyle \frac{(\text{点}\mathrm{A}\text{の座標})+(\text{点}\mathrm{B}\text{の座標})}{2}$
復習より、$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の座標は、
$\displaystyle \frac{(\text{点}\mathrm{P}\text{の座標})+(\text{点}\mathrm{Q}\text{の座標})}{2}$
である。
これに
$\mathrm{P}=-2\sqrt{3}$
$\mathrm{Q}=2\sqrt{3}+2\sqrt{6}$
を代入して、求める座標は
$\displaystyle \frac{-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}}{2}$
$=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{2}$
$=\sqrt{6}$
であり、これが中点に対応する実数である。
解答ク：６
(3)
この問題は、絶対値の考え方を使う方法と、使わない方法の２通りが考えられる。
その両方を解説しておく。
解法１
アドバイス
センター試験への対策として、絶対値は必ずマスターしておきたい。
だけど、多くの受験生が絶対値を好きじゃないのも事実だと思う。
なので、まず、絶対値を使わない方法で解いてみよう。
(1)より、$f(0)\leqq 6$かつ$f(6)\geqq 0$となるような$a$の範囲は、式Ｃと式Ｅの連立不等式の解だ。
よって、求める$a$の範囲は、
$-2\sqrt{3}\leqq a\leqq 2\sqrt{3}+2\sqrt{6}$式Ｆ
である。
また、問題文にあるように、$u$が実数，$r$が$0$以上の実数のとき
$|u|\leqq t\ \Leftrightarrow\ -r\leqq u\leqq r$
となるので、問題文中の
$\left|a-\sqrt{ケ}\right|\leqq\sqrt{コ}+サ\sqrt{シ}$
は、
$-(\sqrt{コ}+サ\sqrt{シ})\leqq a-\sqrt{ケ}\leqq\sqrt{コ}+サ\sqrt{シ}$
より
$\sqrt{ケ}-\sqrt{コ}-サ\sqrt{シ}\leqq a\leqq\sqrt{ケ}+\sqrt{コ}+サ\sqrt{シ}$
式Ｇ
と書ける。
式Ｇと式Ｆは同じ$a$の範囲を表す式なので、左辺同士・右辺同士は等しい。
なので、
$\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{ケ}-\sqrt{コ}-サ\sqrt{シ}=-2\sqrt{3}\\
\sqrt{ケ}+\sqrt{コ}+サ\sqrt{シ}=2\sqrt{3}+2\sqrt{6}
\end{array}\right.$式Ｈ
でなければならない。
式Ｈを見ると、すぐに
$\sqrt{ケ}=\sqrt{6}$
$\sqrt{コ}=\sqrt{6}$
$サ\sqrt{シ}=2\sqrt{3}$
だと想像がつくけれど、ここでは計算で解いておく。
式Ｈの二つの式を辺々たして、
| $\sqrt{ケ}$ | $+\sqrt{コ}$ | $+サ\sqrt{シ}$ | $=$ | $2\sqrt{3}$ | $+2\sqrt{6}$ | |
| $+)$ | $\sqrt{ケ}$ | $-\sqrt{コ}$ | $-サ\sqrt{シ}$ | $=$ | $-2\sqrt{3}$ | |
| $2\sqrt{ケ}$ | $=$ | $2\sqrt{6}$ |
$\sqrt{ケ}=\sqrt{6}$
である。
解答ケ：６
また、式Ｈの二つの式を辺々引いて、
| $\sqrt{ケ}$ | $+\sqrt{コ}$ | $+サ\sqrt{シ}$ | $=$ | $2\sqrt{3}$ | $+2\sqrt{6}$ | |
| $-)$ | $\sqrt{ケ}$ | $-\sqrt{コ}$ | $-サ\sqrt{シ}$ | $=$ | $-2\sqrt{3}$ | |
| $2\sqrt{コ}$ | $+2サ\sqrt{シ}$ | $=$ | $4\sqrt{3}$ | $+2\sqrt{6}$ |
となるので、
$\sqrt{コ}=\sqrt{6}$
$サ\sqrt{シ}=2\sqrt{3}$
である。
解答コ：６, サ：２, シ：３
解法２
アドバイス
この問題については、解法１のように絶対値を使わずに解ける。
解法１で解いてもらってＯＫだ。
けれど、(2)で求めた結果を全く使わなかったことからも分かるように、解法１は問題の流れには乗っていない。
流れは、次のような絶対値を使う方法だ。
(1)より、$f(0)\leqq 6$かつ$f(6)\geqq 0$となるような$a$の範囲は、式Ｃと式Ｅの連立不等式の解なので、
$-2\sqrt{3}\leqq a\leqq 2\sqrt{3}+2\sqrt{6}$
である。
これは、(2)の図Ａの点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の部分にあたる（点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$を含む）。
なので、$a$の範囲を数直線で表すと、図Ｂができる。
![大学入試センター試験2019年追試 数学ⅠＡ 第１問[1] 解説図Ｂ](_image/1A_1_1_02.svg)
図Ｂにおいて、点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{PQ}$の中点。
なので、点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{P}$の距離と、点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{Q}$の距離は等しくて、
$\sqrt{6}-(-2\sqrt{3})$式Ｉ
$=\sqrt{6}+2\sqrt{3}$
である。
$a$は点$\mathrm{M}$から見て点$\mathrm{M}$や点$\mathrm{P}$より遠くなることはないので、
$a$と点$\mathrm{M}$の距離$\leqq\sqrt{6}+2\sqrt{3}$式Ｊ
であることが分かる。
ここで、$a$と$\mathrm{M}$の距離を考える。
式Ｉで点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{P}$の距離を求めたけど、それは
$($点$\mathrm{M}$の座標$)-($点$\mathrm{P}$の座標$)$
という計算だった。
同じように、$a$と$\mathrm{M}$の距離は
$a-($点$\mathrm{M}$の座標$)$
$=a-\sqrt{6}$
だけど、$a$が点$\mathrm{M}$の右にあるか左にあるか分からない。
左にあると、$a-\sqrt{6}$だと負の値になってしまう。
なので、
$\left|a-\sqrt{6}\right|$
と絶対値をつけておこう。
これを式Ｊに代入して、
$\left|a-\sqrt{6}\right|\leqq\sqrt{6}+2\sqrt{3}$
となる。
解答ケ：６, コ：６, サ：２, シ：３