よって、$\{b_{n}\}$は
初項が
$-\dfrac{5}{2}$ 階差数列の一般項が
$\dfrac{4}{n(n+2)}$ の数列であることが分かる。

まず、この$\{b_{n}\}$の一般項を求める。

ということで、階差数列の復習から。

復習

数列$\{a_{n}\}$の階差数列が$\{b_{n}\}$のとき、$\{a_{n}\}$の一般項は
$a_{n}=a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_{k} \hspace{30px} (2\leqq n)$

復習より、$2\leqq n$のとき、$\{b_{n}\}$の一般項は
$b_{n}=-\displaystyle \frac{5}{2}+\textcolor{red}{\sum_{k=1}^{n-1}\frac{4}{k(k+2)}}$式Ｂ
とかける。

この式の赤い部分については、決まった解き方があった。

復習

一般項が
$\displaystyle \frac{1}{n(n+a)}$
の数列の和を求めるときには、部分分数に分けて
$\displaystyle \frac{1}{n(n+a)}=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}\right)$
とする。

というわけで、部分分数に分けよう。

$$ \begin{align} \frac{4}{k(k+2)}&=4\times\frac{1}{k(k+2)}\\ &=4\times\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)\\ &=2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) \end{align} $$

解答カ：２

なので、式Ｂの赤い部分は
$$ \begin{align} \sum_{k=1}^{n-1}\frac{4}{k(k+2)}&= \sum_{k=1}^{n-1}2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)\\ &=2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) \end{align} $$ とかける。

これをΣを使わずに表すと、
$$ \begin{align} & 2\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)\\ &\qquad=2 \left\{\begin{aligned} &\left( \frac{1}{1} \bbox[pink]{-\frac{1}{3}} \right)\\ &\hspace{10px}+ \left(\frac{1}{2} \bbox[paleturquoise]{-\frac{1}{4}} \right)\\ &\hspace{20px}+ \left( \bbox[pink]{\frac{1}{3}} \bbox[palegreen]{-\frac{1}{5}} \right) + \cdots\\ &\hspace{30px}+ \left( \bbox[lightsteelblue]{\frac{1}{n-3}} \bbox[khaki]{-\frac{1}{n-1}} \right)\\ &\hspace{40px}+ \left( \bbox[thistle]{\frac{1}{n-2}} -\frac{1}{n} \right)\\ &\hspace{50px}+ \left( \bbox[khaki]{\frac{1}{n-1}} -\frac{1}{n+1} \right) \end{aligned}\right\} \end{align} $$ この式の色がついた部分はセットで消えるので、
$\begin{aligned}2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}& \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)\\&=2\displaystyle \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\end{aligned}$
とかける。

以上より、
$$ \begin{align} &\sum_{k=1}^{n-1}\frac{4}{k(k+2)}\\ &\qquad=2 \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \end{align} $$

途中式

$$ \begin{align} \qquad&=2\times\frac{\left\{\begin{aligned}2n(n+1)+& n(n+1)\\& -2(n+1)-2n\end{aligned}\right\}}{2n(n+1)}\\ &=\frac{3n(n+1)-2(n+1)-2n}{n(n+1)}\\ &=\frac{3n^{2}+3n-2n-2-2n}{n(n+1)} \end{align} $$

$\qquad=\dfrac{3n^{2}-n-2}{n(n+1)}$
である。

解答キ：３, ク：２, ケ：１

よって、式Ｂは
$b_{n}=-\displaystyle \frac{5}{2}+\frac{3n^{2}-n-2}{n(n+1)}$
とかける。

これは$n=1$のときも成り立つ。

これを式Ａ'に代入して、$\{a_{n}\}$の一般項は
$a_{n}=n(n+1)\left(-\dfrac{5}{2}+\dfrac{3n^{2}-n-2}{n(n+1)}\right)$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{a_{n}}&=-\frac{5n(n+1)}{2}+3n^{2}-n-2\\ &=-\frac{5n^{2}+5n}{2}+\frac{2(3n^{2}-n-2)}{2}\\ &=\frac{-5n^{2}-5n+6n^{2}-2n-4}{2} \end{align} $$

$\phantom{a_{n}}=\dfrac{n^{2}-7n-4}{2}$式Ｃ
となる。

解答コ：７, サ：４, シ：２

$S_{n}=n(2a_{n}-24)$
に式Ｃを代入して、
$$ \begin{align} S_{n}&=n\left(2\times\frac{n^{2}-7n-4}{2}-24\right)\\ &=n(n^{2}-7n-4-24)\\ &=n(n^{2}-7n-28)\class{tex_formula}{式Ｄ} \end{align} $$ である。

$c_{1}=S_{1}$なので、式Ｄに$n=1$を代入して、
$c_{1}=1\cdot(1^{2}-7\cdot 1-28)$
$c_{1}$$=-34$
となる。

解答ス：－, セ：３, ソ：４

また、$2\leqq n$のとき、
$c_{n}=S_{n}-S_{n-1}$
なので、これに式Ｄを代入して、
$\begin{aligned}c_{n}=& n(n^{2}-7n-28)-(n-1)\{(n-1)^{2}\\& \hspace{60px}-7(n-1)-28)\end{aligned}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{c_{n}}&=n(n^{2}-7n-28)\\&\qquad -(n-1)(n^{2}-2n+1-7n+7-28)\\ &=n(n^{2}-7n-28)\\&\hspace{60px} -(n-1)(n^{2}-9n-20)\\ &=(n^{3}-7n^{2}-28n)\\&\hspace{60px} -(n^{3}-9n^{2}-20n)\\&\hspace{100px}+(n^{2}-9n-20)\\ &=3n^{2}-17n-20 \end{align} $$

$\phantom{c_{n}}=(n+1)(3n-20)$①
となる。

解答タ：１, チ：３, ツ：２, テ：０

①に$n=1$を代入すると、
$c_{1}=(1+1)(3\cdot 1-20)$
$c_{1}$$=-34$
なので、①は$n=1$のときも成り立つ。
よって、$\{c_{n}\}$の一般項は
$c_{n}=\textcolor{green}{(n+1)} \textcolor{red}{(3n-20)}$①
である。

$1\leqq n$なので、①の緑の部分は常に正。
よって、
赤い部分が負のとき、$c_{n} \lt 0$ 赤い部分が正のとき、$0 \lt c_{n}$ である。

赤い部分が負になるのは、
$3n-20 \lt 0$
より
$n \lt \displaystyle \frac{20}{3}$
だけど、$n$は自然数なので
$1\leqq n\leqq 6$
のときだ。

解答ト：６

以上より、$c_{1}$～$c_{6}$は負、$c_{7}$～$c_{10}$は正なので、
$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\left|c_{n}\right|=- \textcolor{blue}{(c_{1}+\cdots+c_{6})}+ \textcolor{green}{(c_{7}+\cdots+c_{10})}$
          $=- \textcolor{blue}{S_{6}} + \textcolor{green}{(S_{10}-S_{6})}$
          $=-2S_{6}+S_{10}$
である。

解答ナ：－, ニ：２

これに式Ｄを代入して、
$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\left|c_{n}\right|=-2\cdot 6(6^{2}-7\cdot 6-28)$
                          $+10(10^{2}-7\cdot 10-28)$           $=-2\cdot 6(-6-28)+10(3\cdot 10-28)$
          $=-2\cdot 6(-34)+10(2)$
          $=428$
となる。

解答ヌ：４, ネ：２, ノ：８