大学入試センター試験 2019年(平成31年) 追試 数学ⅡB 第3問 解説

(1)

$b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n(n+1)}$式A
より
$b_{1}=\displaystyle \frac{a_{1}}{1\cdot(1+1)}$
とかける。
問題文より
$a_{1}=-5$
なので、これは
$b_{1}=\displaystyle \frac{-5}{1\cdot(1+1)}$
$b_{1}\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{5}{2}$
となる。

解答ア:-, イ:5, ウ:2

式Aを変形して、
$a_{n}=n(n+1)b_{n}$式A'
とすると、
$a_{n+1}=(n+1)(n+2)b_{n+1}$
とかける。
これらを$a_{n}$の漸化式に代入すると
$n(n+1)(n+2)b_{n+1}=n(n+1)(n+2)b_{n}+4(n+1)$
途中式 $n+1 \neq 0$ なので、両辺を $n+1$ で割って、
$n(n+2)b_{n+1}=n(n+2)b_{n}+4$
$n(n+2)b_{n+1}-n(n+2)b_{n}=4$
$n(n+2)\left(b_{n+1}-b_{n}\right)=4$
$b_{n+1}-b_{n}\displaystyle =\frac{4}{n(n+2)}$
である。

解答エ:4, オ:2


よって、$\{b_{n}\}$は
初項が
$-\displaystyle \frac{5}{2}$
階差数列の一般項が
$\displaystyle \frac{4}{n(n+2)}$
の数列であることが分かる。

まず、この$\{b_{n}\}$の一般項を求める。

ということで、階差数列の復習から。

復習

数列$\{a_{n}\}$の階差数列が$\{b_{n}\}$のとき、$\{a_{n}\}$の一般項は
$a_{n}=a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_{k}$     $(2\leqq n)$

復習より、$2\leqq n$のとき、$\{b_{n}\}$の一般項は
$b_{n}=-\displaystyle \frac{5}{2}+$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{4}{k(k+2)}$式B
とかける。


この式の赤い部分については、決まった解き方があった。

復習

一般項が
$\displaystyle \frac{1}{n(n+a)}$
の数列の和を求めるときには、部分分数に分けて
$\displaystyle \frac{1}{n(n+a)}=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}\right)$
とする。

というわけで、部分分数に分けよう。

$\displaystyle \frac{4}{k(k+2)}=4\times\frac{1}{k(k+2)}$
$\displaystyle \frac{4}{k(k+2)}$$\displaystyle =4\times\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$
$\displaystyle \frac{4}{k(k+2)}$$\displaystyle =2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$

解答カ:2

なので、式Bの赤い部分は
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{4}{k(k+2)}= \sum_{k=1}^{n-1}2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{4}{k(k+2)}$$=2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$
とかける。

これをΣを使わずに表すと、
$2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$
       $\displaystyle =2 \biggl\{ \biggl( \frac{1}{1}$$\displaystyle -\frac{1}{3}$$\biggr)+ \biggl(\displaystyle \frac{1}{2}$$\displaystyle -\frac{1}{4}$$\biggr)+ \biggl($$\displaystyle \frac{1}{3}$$\displaystyle -\frac{1}{5}$$\biggr)+$
            $\cdots+ \biggl($$\displaystyle \frac{1}{n-3}$$\displaystyle -\frac{1}{n-1}$$\biggr)+ \biggl($$\displaystyle \frac{1}{n-2}$$\displaystyle -\frac{1}{n} \biggr)$
                 $\displaystyle + \biggl($$\displaystyle \frac{1}{n-1}$$\displaystyle -\frac{1}{n+1} \biggr) \biggr\}$
この式の色がついた部分はセットで消えるので、
$2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)=2\displaystyle \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$
とかける。

以上より、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{4}{k(k+2)}=2 \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$
途中式        $=2\displaystyle \times\frac{2n(n+1)+n(n+1)-2(n+1)-2n}{2n(n+1)}$
       $=\displaystyle \frac{3n(n+1)-2(n+1)-2n}{n(n+1)}$
       $=\displaystyle \frac{3n^{2}+3n-2n-2-2n}{n(n+1)}$
       $=\displaystyle \frac{3n^{2}-n-2}{n(n+1)}$
である。

解答キ:3, ク:2, ケ:1


よって、式Bは
$b_{n}=-\displaystyle \frac{5}{2}+\frac{3n^{2}-n-2}{n(n+1)}$
とかける。

これは$n=1$のときも成り立つ。

これを式A'に代入して、$\{a_{n}\}$の一般項は
$a_{n}=n(n+1)\left(\displaystyle -\frac{5}{2}+\frac{3n^{2}-n-2}{n(n+1)}\right)$
途中式 $a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{5n(n+1)}{2}+3n^{2}-n-2$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{5n^{2}+5n}{2}+\frac{2(3n^{2}-n-2)}{2}$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-5n^{2}-5n+6n^{2}-2n-4}{2}$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{n^{2}-7n-4}{2}$式C
となる。

解答コ:7, サ:4, シ:2

(2)

$S_{n}=n(2a_{n}-24)$
に式Cを代入して、
$S_{n}=n\left(\displaystyle 2\times\frac{n^{2}-7n-4}{2}-24\right)$
$S_{n}$$=n(n^{2}-7n-4-24)$
$S_{n}$$=n(n^{2}-7n-28)$式D
である。

$c_{1}=S_{1}$なので、式Dに$n=1$を代入して、
$c_{1}=1\cdot(1^{2}-7\cdot 1-28)$
$c_{1}$$=-34$
となる。

解答ス:-, セ:3, ソ:4

また、$2\leqq n$のとき、
$c_{n}=S_{n}-S_{n-1}$
なので、これに式Dを代入して、
$c_{n}=n(n^{2}-7n-28)$
            $-(n-1)\{(n-1)^{2}-7(n-1)-28)$
途中式 $c_{n}$$=n(n^{2}-7n-28)$
            $-(n-1)(n^{2}-2n+1-7n+7-28)$
$c_{n}$$=n(n^{2}-7n-28)-(n-1)(n^{2}-9n-20)$
$c_{n}$$=(n^{3}-7n^{2}-28n)$
            $-(n^{3}-9n^{2}-20n)+(n^{2}-9n-20)$
$c_{n}$$=3n^{2}-17n-20$
$c_{n}$$=(n+1)(3n-20)$
となる。

解答タ:1, チ:3, ツ:2, テ:0

①に$n=1$を代入すると、
$c_{1}=(1+1)(3\cdot 1-20)$
$c_{1}$$=-34$
なので、①は$n=1$のときも成り立つ。
よって、$\{c_{n}\}$の一般項は
$c_{n}=$$(n+1)$$(3n-20)$
である。


$1\leqq n$なので、①の緑の部分は常に正。
よって、
赤い部分が負のとき、$c_{n} \lt 0$ 赤い部分が正のとき、$0 \lt c_{n}$ である。

赤い部分が負になるのは、
$3n-20 \lt 0$
より
$n \lt \displaystyle \frac{20}{3}$
だけど、$n$は自然数なので
$1\leqq n\leqq 6$
のときだ。

解答ト:6

以上より、$c_{1}$~$c_{6}$は負、$c_{7}$~$c_{10}$は正なので、
$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\left|c_{n}\right|=-$$(c_{1}+\cdots+c_{6})$$+$$(c_{7}+\cdots+c_{10})$
          $=-$$S_{6}$$+$$(S_{10}-S_{6})$
          $=-2S_{6}+S_{10}$
である。

解答ナ:-, ニ:2

これに式Dを代入して、
$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\left|c_{n}\right|=-2\cdot 6(6^{2}-7\cdot 6-28)$
                          $+10(10^{2}-7\cdot 10-28)$           $=-2\cdot 6(-6-28)+10(3\cdot 10-28)$
          $=-2\cdot 6(-34)+10(2)$
          $=428$
となる。

解答ヌ:4, ネ:2, ノ:8