説明文に「すべての机の上に白のカードが置かれている状態」とか書いていると長くなってしかたがない。
なので、以下の解説では、

机の上に白のカードが置かれている状態を
机の上に青のカードが置かれている状態を
と表すことにする。
下段に３つ並んでいる小さい四角は箱の中のカードだ。

よって、
すべての机の上に白のカードが置かれている状態は

すべての机の上に青のカードが置かれている状態は

と表せる。

それから、箱の中のカードだけを表す場合も図にしよう。
箱の中に白のカードが２枚と青のカードが１枚ある状態を
白のカードが１枚と青のカードが２枚ある状態を
と表すことにする。

それでは問題の解説に入ろう。

まず、１回目の終了時にになる確率から。

ひとつの机について考えると、操作$S$の終了時にであるためには、箱からが出ればよい。

１回目の操作を始める前、全ての箱の中身は

だから、箱から取り出したカードがである確率は、
$\displaystyle \frac{1}{3}$
である。

机全部について考えると、３つの箱すべてからが出るので、求める確率は
$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}$
となる。

解答ア：１, イ：２, ウ：７

１回目の終了時にになる確率も、さっきのと同じように解く。

操作$S$の終了時にであるためには、箱からが出ればよい。

１回目の操作を始める前、全ての箱の中身は

だから、箱から取り出たカードがである確率は、
$\displaystyle \frac{2}{3}$
である。
３つの箱すべてからが出るので、求める確率は
$\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27}$
となる。

解答エ：８, オ：２, カ：７

状態$A$は、との２種類しかない。

(1)より、１回目の終了時に
である確率は、$\displaystyle \frac{1}{27}$ である確率は、$\displaystyle \frac{8}{27}$ なので、
１回目の終了時に状態$A$である確率は
$\displaystyle \frac{1}{27}+\frac{8}{27}=\frac{9}{27}$
$\displaystyle \frac{1}{27}+\frac{8}{27}$$\displaystyle =\frac{1}{3}$
である。

解答キ：１, ク：３

次に、状態$B$。
状態$B$になる確率をそのまま求めるより、余事象を考えた方が楽だ。

カードはとの２種類しかないので、３つの机の上のカードがすべて違う色にはならない。
つまり、
３枚とも同じ色（状態$A$） ２枚が同じ色（状態$B$） のどちらかしか起こらない。
なので、状態$B$の余事象は状態$A$である。

よって、
状態$B$である確率$=1-$状態$A$である確率
より、
状態$B$である確率$=1-\displaystyle \frac{1}{3}$
状態$B$である確率$\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2}{3}$
である。

解答ケ：２, コ：３

復習の事象$A$は、この問題では
１回目の終了時に机の上にあるカードが２枚と１枚 復習の事象$B$は、この問題では
２回目の終了時に状態$A$ にあたる。

事象$A$が起こった場合を全事象と考えるので、求める条件付き確率は、言いかえると
机の上にあるカードが２枚と１枚 の状態から操作$S$を１回行い、操作後に
または になる確率のことである。

操作後にになる確率から始めよう。
操作$S$で、３つの机すべてで箱からが出る確率を求める。

の机は２つあって、が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$ の机は１つで、が出る確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$ なので、すべての机で箱からが出る確率は、
$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3^{3}}$式Ｅ
である。

操作後にになる確率も、のときと同様に考える。

の机は２つあって、が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{2}{3}$ の机は１つで、が出る確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$ なので、すべての机で箱からが出る確率は、
$\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3^{3}}$式Ｆ
である。

状態$A$になるためには、操作後にでもでもいいので、式Ｅと式Ｆを足し算して、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{2}{3^{3}}+\frac{4}{3^{3}}=\frac{6}{3^{3}}$
$\displaystyle \frac{2}{3^{3}}+\frac{4}{3^{3}}$$\displaystyle =\frac{2}{9}$式Ｇ
となる。

解答サ：２, シ：９

次は、１回目の終了時に机の上にあるカードが１枚と２枚のとき。
問題文から、求める条件付き確率は
$\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}=\frac{2}{9}$
なのは分かるけど、念のため解説しておこう。

すべての机でとの数は等しいので、とを入れ替えても確率は変わらない。
なので、
２枚と１枚から始めて、操作後に状態$A$になる確率 と
１枚と２枚から始めて、操作後に状態$A$になる確率 は等しい。

なので、求める条件付き確率は、式Ｇと同じ
$\displaystyle \frac{2}{9}$
である。

(2)より、操作前にのとき、
操作後に
状態$A$である確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$ 状態$B$である確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$ だった。

(3)でも考えたけど、すべての机でとの数は等しいので、とを入れ替えても確率は変わらない。

なので、
操作前にのとき、
操作後に
状態$A$である確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$ 状態$B$である確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$ である。

これをまとめると、
操作前に状態$A$のとき、操作後に
状態$A$になる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$ 状態$B$になる確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$ であると言える。

(3)で求めた結果、
操作前に机の上のカードが２枚と１枚のとき、操作後に状態$A$になる確率は$\displaystyle \frac{2}{9}$ 操作前に机の上のカードが１枚と２枚のとき、操作後に状態$A$になる確率は$\displaystyle \frac{2}{9}$ だった。

状態$B$は
机の上にあるカードが２枚と１枚 机の上にあるカードが１枚と２枚 の２種類しかなくて、どちらも操作後に状態$A$になる確率は$\displaystyle \frac{2}{9}$なので、
操作前に状態$B$のとき、操作後に状態$A$になる確率は$\displaystyle \frac{2}{9}$ であると言える。

また、状態$B$の余事象は状態$A$だったので、$1-\displaystyle \frac{2}{9}=\frac{7}{9}$より、
操作前に状態$B$のとき、操作後に状態$B$になる確率は$\displaystyle \frac{7}{9}$ である。

以上より、の状態から始めて、
１回目の試行後に状態$A$になる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$
このとき、
２回目の試行後も状態$A$になる確率は、
$\displaystyle \frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$ ２回目の試行後には状態$B$になる確率は、
$\displaystyle \frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$ １回目の試行後に状態$B$になる確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$
このとき、
２回目の試行後には状態$A$になる確率は、
$\displaystyle \frac{2}{3}\times\frac{2}{9}=\frac{4}{27}$ ２回目の試行後も状態$B$になる確率は、
$\displaystyle \frac{2}{3}\times\frac{7}{9}=\frac{14}{27}$ である。

これを表にまとめると表Ａができる。

２回目の終了時に状態$A$なのは、表Ａの緑の部分。
よって、求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{9}+\frac{4}{27}=\frac{1\cdot 3+4}{27}$
$\displaystyle \frac{1}{9}+\frac{4}{27}$$\displaystyle =\frac{7}{27}$
である、

解答ス：７, セ：２, ソ：７

(4)で表Ａが出来ているので、あとは簡単だ。
表Ａに(5)の問題に合わせて色をつけなおして、表Ｂをつくってみた。

(3)の２つめの復習の考え方から、図Ｂのグレーの部分は存在しないものとし、緑の部分を全事象と考える。

緑の部分のうち、１回目の終了時も状態$B$であるのは、赤文字の部分。

なので、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\frac{14}{27}}{\frac{2}{9}+\frac{14}{27}}$式Ｈ
とかける。
繁分数は面倒なので、分母分子に$27$をかけて、答えは
$\displaystyle \frac{14}{2\cdot 3+14}$
$=\displaystyle \frac{14}{20}$
$=\displaystyle \frac{7}{10}$
である。

解答タ：７, チ：１, ツ：０