大学入試センター試験 2019年(平成31年) 追試 数学ⅡB 第1問 [2] 解説

(1)

対数をそのまま考えると分かりにくいときには、指数に書きかえてから考えるのがお薦め。
というわけで、まず指数と対数の関係の復習から始めよう。

復習

$0 \lt a$,$0 \lt b$のとき
$\log_{a}b=c\ \Leftrightarrow\ a^{c}=b$
である。

復習より、
$\log_{2}\text{タ}=0$

$2^{0}=\text{タ}$
とかける。
よって、
$\text{タ}=1$
である。

解答タ:1

$\log_{2}\text{チ}=1$

$2^{1}=\text{チ}$
なので、
$\text{チ}=2$
である。

解答チ:2

また、$\ell$を整数として、
$\log_{2}x=\ell$
とおくと、
$2^{\ell}=x$
とかける。
いま、$x$は$100$以下の自然数だ。
よって、$2$の整数乗が$100$以下の自然数になる場合を考えればよい。

$2$の整数乗を書き出してみると、

$2^{-1}=\displaystyle \frac{1}{2}$ 自然数でないので×
$2^{0}=1$
$2^{1}=2$
$\vdots$
$2^{6}=64$
$2^{7}=128$ $100$を超えるので×

なので、$x$が$100$以下の自然数となるのは
7個
である。

解答ツ:7

(2)

$54=27\times 2$
$54$$=3^{3}\times 2$
なので、$\log_{2}54$は
$\log_{2} 54 = \log_{2} (3^{3} \cdot 2)$
$\log_{2}54$$=\log_{2}3^{3}+\log_{2}2$
$\log_{2}54$$=3\log_{2}3+\log_{2}2$
$\log_{2}54$$=3\log_{2}3+1$式A
とかける。
いま$\log_{2}3 =r$なので、式Aは
$\log_{2}54=3r+1$
となる。

解答テ:3, ト:1


次は、対数の大小の問題だ。

$\log_{2}5$と$\displaystyle \frac{r+3}{2}$は、そのままの形ではどうにもならないので、$\log_{2}X$の形にそろえてから比較しよう。

$r=\log_{2}3$なので、
$\displaystyle \frac{r+3}{2}=\frac{\log_{2}3+3}{2}$
である。
これを変形すると、
$\displaystyle \frac{r+3}{2}=\frac{1}{2}\log_{2}3+\frac{3}{2}$
となる。

右辺の$\displaystyle \frac{3}{2}$は対数じゃないので、対数にしないといけない。
対数にするには、$1$をかける。
$1$とは、$\log_{2}2$のことだ。
$\log_{2}2$をかけると、上の式は
$\displaystyle \frac{r+3}{2}=\frac{1}{2}\log_{2}3+\frac{3}{2}\log_{2}2$
途中式          $=\log_{2}3^{\frac{1}{2}}+\log_{2}2^{\frac{3}{2}}$
         $=\log_{2}\sqrt{3}+\log_{2}\sqrt{2^{3}}$
         $=\log_{2}\sqrt{3}+\log_{2}\sqrt{8}$
         $=\log_{2}\sqrt{24}$式B
となる。

式Bは真数がルートなので、$\log_{2}5$も同じ形にすると、
$\log_{2}5=\log_{2}\sqrt{25}$式C
とかける。

式Bと式Cを比較すると、
底の$2$は$1$より大きい $\sqrt{25} \gt \sqrt{24}$ なので、
$\log_{2}\sqrt{25} \gt \log_{2}\sqrt{24}$
といえる。
よって、
$\displaystyle \log_{2}5 \gt \frac{r+3}{2}$
である。

解答ナ:2


$\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{3}}$と$r$は、
$\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{3}}$の底は$\displaystyle \frac{1}{2}$ $r=\log_{2}3$の底は$2$ なので、底の変換公式を使って底を$2$にそろえよう。

底の変換公式は、

公式

$\displaystyle \log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

だった。

底の変換公式より、
$\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\log_{2}\frac{1}{\sqrt{3}}}{\log_{2}\frac{1}{2}}$
途中式             $=\displaystyle \frac{\log_{2}\sqrt{3}^{-1}}{\log_{2}2^{-1}}$
            $=\displaystyle \frac{-\log_{2}\sqrt{3}}{-\log_{2}2}$
            $=\displaystyle \frac{-\log_{2}\sqrt{3}}{-1}$
            $=\log_{2}\sqrt{3}$式D
である。

一方、$r$は
$r=\log_{2}3$
なので、式Dと比較すると
底の$2$は$1$より大きい $\sqrt{3} \lt 3$ だから、
$\log_{2}\sqrt{3} \lt \log_{2}3$
より
$\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{3}} \lt r$
である。

解答ニ:0

(3)

$n\leqq\log_{k}2 \lt n+1$
は、中辺だけ対数なので面倒だ。
左辺と右辺も対数にしよう。

$\log_{k}k=1$なので、左辺と右辺にかけても値は変わらないから、
$n\log_{k}k\leqq\log_{k}2 \lt (n+1)\log_{k}k$
より
$\log_{k}k^{n}\leqq\log_{k}2 \lt \log_{k}k^{n+1}$
とかける。
底の$k$は$3$以上なので、
$k^{n}\leqq 2 \lt k^{n+1}$式E
である。

$n$は整数だから、整数だけ考えると、
$k^{0}=1$なので、$k^{0} \lt 2$ $k^{1}=k$なので、$2 \lt k^{1}$ だ。
よって、式Eを満たす$n$は
$n=0$
である。

解答ヌ:0


$\displaystyle \frac{m}{10}\leqq\log_{k}2$
の左辺も、さっきと同じように対数にすると、
$\displaystyle \frac{m}{10}\log_{k}k\leqq\log_{k}2$
両辺を$10$倍して、
$m\log_{k}k\leqq 10\log_{k}2$
$\log_{k}k^{m}\leqq\log_{k}2^{10}$
底の$k$は$1$より大きいので、
$k^{m}\leqq 2^{10}$
となる。

解答ネ:4


ここまではいいのだが、この後の「$\log_{k}2$を小数で表したときの小数第1位の数字を求めることができる」の意味が分かりにくいかも知れない。
これを説明するより、実際にを求める方法を見た方が分かりやすそうだ。

さっき解いた
$\displaystyle \frac{m}{10}\leqq\log_{k}2$
↑↓
$k^{m}\leqq 2^{10}$
を$\log_{7}2$に当てはめると、
$\displaystyle \frac{m}{10}\leqq\log_{7}2$式F
↑↓
$7^{m}\leqq 2^{10}$式G
とかける。

式Gの不等式を解く。
$7^{m}\leqq 2^{10}$
$7^{m}\leqq 1024$式G'
だけど、
$7^{2}=49$
$7^{3}=(50-1)\times 7$
$7^{3}$$=350-7$
$7^{3}$$=343$
だから、$7^{4}$は計算しなくても$1024$より大きくなってしまうのは明らか。
よって、式G'を満たす最大の整数$m$は$3$で、$4$だと$1024$より大きくなってしまう。

式Fと式Gは、形は違うけど同じ式なので、式Fを満たす最大の整数$m$も
$m=3$
で、
$m=4$
だと$\log_{7}2$より大きくなってしまう。

これを式で表すと
$\displaystyle \frac{3}{10}\leqq\log_{7}2 \lt \frac{4}{10}$
より
$0.3\leqq\log_{7}2 \lt 0.4$
となるので、$\log_{7}2$の小数第1位は
$3$
である。

解答ノ:3


以上より、$k$が$3$以上の整数のとき、$m$を整数として、
$k^{m}\leqq 2^{10} \lt k^{m+1}$式H
を満たす$m$が$\log_{k}2$の小数第1位の数字であることが分かる。
よって、ハヒは、$m=2$のとき式Hが成り立つの最小の$k$だ。

式Hに$m=2$を代入して、
$k^{2}\leqq 1024 \lt k^{3}$
だけど、
$10^{2}=100$
$10^{3}=1000$
なので、$k=10$だとギリギリ式Hは成り立たない。
よって、計算するまでもなく、求める$k$は
$k=11$
である。

解答ハ:1, ヒ:1