まずアイの式だ。
$\mathrm{AB}\cdot\cos\angle \mathrm{ABC}$とか$\mathrm{AC}\cdot\cos\angle \mathrm{ACB}$とか 見慣れない項があるので、この部分から考えよう。

図Ａのように、頂点Aから辺BCに垂線を下ろし、その足を点Hとする。
$\triangle \mathrm{ABH}$ は直角三角形なので、
$$ \begin{align} \cos\angle \mathrm{ABC}&=\cos\angle \mathrm{ABH}\\ &=\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}} \end{align} $$ とかける。

同様に、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ACB}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AC}}$
である。

なので、アイの式は
$$ \begin{align} \fbox{アイ}&=\mathrm{AB}\cdot\cos\angle \mathrm{ABC}+\mathrm{AC}\cdot\cos\angle \mathrm{ACB}\\ &=\mathrm{AB}\cdot\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}+\mathrm{AC}\cdot\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AC}}\\ &=\mathrm{BH}+\mathrm{CH}\\ &=\mathrm{BC}\\ &=12 \end{align} $$ となる。

解答ア：１, イ：２

アイの式に$\cos\angle \mathrm{ABC}$と$\cos\angle \mathrm{ACB}$の値を代入すると、
$\displaystyle \frac{1}{3}\mathrm{AB}+\frac{7}{9}\mathrm{AC}=12$式Ａ
となる。

アドバイス

次は$\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$だ。
ABとかACとかの辺の長さが入っている公式は
正弦定理 余弦定理 面積 の３種類あるけれど、今回は面積は論外。
また、余弦定理は$\mathrm{AB}^{2}$とか$\mathrm{AC}^{2}$とかになるからパス。
正弦定理を使おう。

正弦定理より、
$\dfrac{\mathrm{AC}}{\sin\angle \mathrm{ABC}}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\sin\angle \mathrm{ACB}}$
これを変形して、

途中式

まず両辺をACで割って、
$\dfrac{1}{\sin\angle \mathrm{ABC}}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}\cdot\sin\angle \mathrm{ACB}}$
両辺に$\sin\angle \mathrm{ACB}$をかけて、

$\displaystyle \frac{\sin\angle \mathrm{ACB}}{\sin\angle \mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$式Ｂ
という式が出来る。

この式の$\sin\angle \mathrm{ABC}$は、
$\sin^{2}\angle \mathrm{ABC}+\cos^{2}\angle \mathrm{ABC}=1$
より
$\sin^{2}\angle \mathrm{ABC}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=1$
だから

途中式

$$ \begin{align} \sin^{2}\angle \mathrm{ABC}&=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\\ &=\frac{3^{2}-1}{3^{2}}\\ &=\frac{8}{3^{2}} \end{align} $$ ここで、$0 \lt \sin\angle \mathrm{ABC}$なので、

$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC} =\frac{2\sqrt{2}}{3}$式Ｃ

また、$\sin\angle \mathrm{ACB}$は、
$\sin^{2}\angle \mathrm{ACB}+\cos^{2}\angle \mathrm{ACB}=1$
より
$\sin^{2}\angle \mathrm{ACB}+\left(\dfrac{7}{9}\right)^{2}=1$
だから

途中式

$$ \begin{align} \sin^{2}\angle \mathrm{ACB}&=1-\left(\frac{7}{9}\right)^{2}\\ &=\frac{9^{2}-7^{2}}{9^{2}}\\ &=\frac{(9+7)(9-7)}{9^{2}}\\ &=\frac{16\cdot 2}{9^{2}} \end{align} $$ ここで、$0 \lt \sin\angle \mathrm{ACB}$なので、

$\sin\angle \mathrm{ACB} =\dfrac{4\sqrt{2}}{9}$式Ｄ

式Ｃ，式Ｄを式Ｂに代入して、
$$ \begin{align} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}&=\frac{\sin\angle \mathrm{ACB}}{\sin\angle \mathrm{ABC}}\\ &=\frac{\cfrac{4\sqrt{2}}{9}}{\cfrac{2\sqrt{2}}{3}} \end{align} $$

途中式

繁分数は面倒だから、まず右辺の分母分子に$9$をかけよう。
$$ \begin{align} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}&=\frac{\cfrac{4\sqrt{2}}{9}\times 9}{\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\times 9}\\ &=\frac{4\sqrt{2}}{3\cdot 2\sqrt{2}} \end{align} $$ あとは、右辺を約分すると

$\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{2}{3}$式Ｅ
となる。

解答ウ：２, エ：３

ABとACの式が２つ出来たので、連立方程式として解こう。

式Ｅの両辺にACをかけて、
$\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{2}{3}\mathrm{AC}$式Ｅ'

これを式Ａに代入して、
$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\mathrm{AC}+\frac{7}{9}\mathrm{AC}=12$

途中式

$\displaystyle \frac{2}{9}\mathrm{AC}+\frac{7}{9}\mathrm{AC}=12$
$\displaystyle \frac{9}{9}\mathrm{AC}=12$

$\mathrm{AC}=12$
となる。

これを式Ｅ'に代入すると、
$\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{2}{3}\cdot 12$
$\mathrm{AB}$$=8$
である。

解答オ：８, カ：１, キ：２

ここまでで分かったことを書き込むと、図Ｂができる。

さて、最後はADだ。
△ABDを考えると、２辺の長さと１角の三角比が分かってるので、余弦定理だ。

点Dは辺BCの中点なので、
$\mathrm{BD}=6$
である。

△ABDに余弦定理を使うと、
$$ \begin{align} \mathrm{AD}^{2}&=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BD}^{2}-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BD}\cos\angle \mathrm{ABD}\\ &=8^{2}+6^{2}-2\cdot 8\cdot 6\cdot\dfrac{1}{3} \end{align} $$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\mathrm{AD}^{2}}&=(2\cdot 4)^{2}+(2\cdot 3)^{2}-2\cdot 8\cdot 2\\ &=2^{2}(4^{2}+3^{2}-8)\\ &=2^{2}\cdot 17 \end{align} $$ ここで、$0 \lt \mathrm{AD}$なので、

$\mathrm{AD}=2\sqrt{17}$
となる。

解答ク：２, ケ：１, コ：７