である。

$b_{n}\neq 0$なので、問題文の指示に従って①式の両辺を$b_{n}$で割ると、
$\dfrac{a_{n}b_{n+1}-2a_{n+1}b_{n}+3b_{n+1}}{b_{n}}=\dfrac{0}{b_{n}}$
$a_{n}\cdot\dfrac{b_{n+1}}{b_{n}}-2a_{n+1}+3\cdot \dfrac{b_{n+1}}{b_{n}}=0$

これに式Ａを代入すると
$ra_{n}-2a_{n+1}+3r=0$
$$ \begin{align} 2a_{n+1}&=ra_{n}+3r\\ &=r(a_{n}+3)\class{tex_formula}{④} \end{align} $$ とかける。

解答ウ：２, エ：３

さらに、問題文の指示通り これに②式，③式を代入すると
$2(3+np)=r\{3+(n-1)p+3\}$式Ｂ
となるけど、これは$n$についての恒等式だから、$n$で整理しよう。

式Ｂより
$6+2pn=3r+rpn-rp+3r$

途中式

この式の$n$が含まれる項を左辺，含まれない項を右辺にまとめると
$-rpn+2pn=3r-rp+3r-6$
$rpn-2pn=rp-6r+6$

$(r-2)pn=r(p-6)+6$⑤
ができる。

解答オ：２, カ：６, キ：６

これが$n$についての恒等式なので、連立方程式
$\left\{\begin{array}{ll} (r-2)p=0 &\class{tex_formula}{式Ｃ}\\ r(p-6)+6=0 &\class{tex_formula}{式Ｄ} \end{array}\right.$
がつくれる。

$p\neq 0$ なので、式Ｃより
$r=2$式Ｅ

これを式Ｄに代入すると、
$2(p-6)+6=0$
$p-6+3=0$
$p=3$
である。

解答ク：３

以上より
$\left\{\begin{array}{l} \begin{aligned} a_{n}&=3+3(n-1)\\&=3n\class{tex_formula}{式Ｆ} \end{aligned}\\ b_{n}=3\cdot 2^{n-1} \end{array}\right.$
なので、すべての自然数$n$について
$\left\{\begin{array}{l} 0 \lt a_{n}\\ 0 \lt b_{n} \end{array}\right.$
となる。

次に、初項$3$の数列$\{c_{n}\}$を考える。

$\{c_{n}\}$の式
$a_{n}c_{n+1}-4a_{n+1}c_{n}+3c_{n+1}=0$⑥
を変形して$\{c_{n}\}$の漸化式をつくろう。

$c_{n+1}$の項を左辺に、$c_{n}$の項を右辺にまとめて、
$a_{n}c_{n+1}+3c_{n+1}=4a_{n+1}c_{n}$
$(a_{n}+3)c_{n+1}=4a_{n+1}c_{n}$

$0 \lt a_{n}$なので $a_{n}+3\neq 0$ だから、これはさらに
$c_{n+1}=\textcolor{red}{\dfrac{4a_{n+1}}{a_{n}+3}}c_{n}$式Ｇ
とかける。

解答ケ：４, コ：３

この式の赤い部分だけとりだして、式Ｆを代入すると
$$ \begin{align} \dfrac{4\cdot 3(n+1)}{3n+3}&=\dfrac{4\cdot 3(n+1)}{3(n+1)}\\ &=4 \end{align} $$ だ。

なので、式Ｇは
$c_{n+1}=4c_{n}$
となるから、$\{c_{n}\}$は公比$4$の等比数列である。

解答サ：２

最後は、同じく初項$3$の数列$\{d_{n}\}$だ。

$\{d_{n}\}$の式
$d_{n}b_{n+1}-qd_{n+1}b_{n}+ub_{n+1}=0$⑦
（$q$，$u$ は定数）
を変形して、さっきと同じように$\{d_{n}\}$の漸化式をつくろう。

$-qd_{n+1}b_{n}=-d_{n}b_{n+1}-ub_{n+1}$
$qd_{n+1}b_{n}=d_{n}b_{n+1}+ub_{n+1}$
$d_{n+1}=\dfrac{b_{n+1}}{qb_{n}}(d_{n}+u)$⑦'

式Ｅより、$\{b_{n}\}$の公比は$2$なので、
$b_{n+1}=2b_{n}$
$b_{n}\neq 0$ だから、これはさらに
$\dfrac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$
とかける。

これを⑦'式に代入すると、$\{d_{n}\}$の漸化式は
$d_{n+1}=\dfrac{2}{q}(d_{n}+u)$式Ｈ
と表せる。

解答シ：２

等比数列の漸化式は、$\alpha$を公比として
$d_{n+1}=\alpha d_{n}$
の形だ。
式Ｈがこの形になるには
$u=0$
であればよい。

このとき公比は $\cfrac{2}{q}$ だけど、これが$0$より大きく$1$より小さいので、不等式
$0 \lt \dfrac{2}{q} \lt 1$式Ｉ
ができる。

この式の
左辺と中辺より
$0 \lt \dfrac{2}{q}$
$0 \lt q$
中辺と右辺より
$\dfrac{2}{q} \lt 1$
$2 \lt q$
だから、式Ｉを満たす、つまり公比が$0$より大きく$1$より小さくなる$q$の範囲は
$2 \lt q$
である。

解答ス：２, セ：０