複素数平面の問題は図で考えるのがおすすめだ。
けれど、この問題の前半は出題者が計算で解くことを想定しているようで、図で解くよりも計算で解いた方が早い。

なので、エまでは計算メインで説明する。
図で解く方法は別解に載せたけど、エについてはムリヤリ感があるかも。

また、以下の解説では、複素数$w$の
絶対値 $|w|$ を $r \quad$（$0 \lt r$）
偏角 $\arg w$ を $\theta\quad$（$ 0 \lt \theta \lt \pi$）
とかく。

図の固定

$\mathrm{A}_{1}$と$\mathrm{A}_{n}$が重なるとき、つまり
$w=w^{n}$式Ａ
であるときを考える。

$w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$
と表すと、ド・モアブルの定理より、
$$ \begin{align} w^{n}&=\{r(\cos\theta+i\sin\theta)\}^{n}\\ &=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta) \end{align} $$ とかける。

なので、式Ａは
$r(\cos\theta+i\sin\theta)=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)$
となるから
$r=r^{n}$
より
$r^{n}-r=0$
$r(r^{n-1}-1)=0$式Ｂ
であることが分かる。

ここで、$w\neq 0$ なので
$0 \lt r$
だから、式Ｂを満たす実数$r$は
$r=1$
しかない。

よって、
$|w|=1$
である。

解答イ：１

$\mathrm{A}_{k}\mathrm{A}_{k+1}$は 点$\mathrm{A}_{k}\left(w^{k}\right)$ と点$\mathrm{A}_{k+1}\left(w^{k+1}\right)$ の距離なので、
$\mathrm{A}_{k}\mathrm{A}_{k+1}=\left|w^{k+1}-w^{k}\right|$
とかける。

これは
$$ \begin{align} \mathrm{A}_{k}\mathrm{A}_{k+1}&=\left|w^{k}(w-1)\right|\\ &=\left|w^{k}\right|\left|w-1\right|\\ &=\left|w\right|^{k}\left|w-1\right|\class{tex_formula}{式Ｃ} \end{align} $$ と変形できる。

ここで、イより $\left|w\right|=1$ なので、式Ｃは
$$ \begin{align} \mathrm{A}_{k}\mathrm{A}_{k+1}&=1^{k}\left|w-1\right|\\ &=\left|w-1\right| \end{align} $$ となる。

解答ウ：１

$\angle \mathrm{A}_{k-1}\mathrm{A}_{k}\mathrm{A}_{k+1}$ は、線分$\mathrm{A}_{k}\mathrm{A}_{k+1}$ と線分$\mathrm{A}_{k}\mathrm{A}_{k-1}$ のなす角なので、
$\angle \mathrm{A}_{k-1}\mathrm{A}_{k}\mathrm{A}_{k+1}=\arg\dfrac{w^{k-1}-w^{k}}{w^{k+1}-w^{k}}$
とかける。

これを計算すると、
$$ \begin{align} \angle \mathrm{A}_{k-1}\mathrm{A}_{k}\mathrm{A}_{k+1}&=\arg\dfrac{w^{k-1}\left(1-w\right)}{w^{k}\left(w-1\right)}\\ &=\arg\left\{-\dfrac{w^{k-1}\left(w-1\right)}{w^{k}\left(w-1\right)}\right\}\\ &=\arg\left(-\dfrac{1}{w}\right) \end{align} $$ となる。

解答エ：３

次に、$\mathrm{A}_{1}$と$\mathrm{A}_{25}$が重なって正多角形をつくる場合を考える。

$\mathrm{A}_{1}$に重なる点が$\mathrm{A}_{25}$だと図が複雑になるので、問題文中の図４のように、$\mathrm{A}_{10}$が$\mathrm{A}_{1}$に重なる場合を例に解説する。

図の固定

図中の赤い点は$\mathrm{A}_{1}=\mathrm{A}_{10}$，緑の角は$\theta$だ。

図のように、線分$\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}$を①，線分$\mathrm{A}_{2}\mathrm{A}_{3}$を②，$\cdots$ とすると、点$\mathrm{A}_{1}$と$\mathrm{A}_{10}$を①～⑨の９本の線分でできた折れ線で結ぶことができる。

この折れ線が原点のまわりを

１周（$ 2\pi$）するとき、図Ｄの左の図になる。
１周あたりの線分の数は
$\dfrac{9}{1}=9$
なので、正９角形ができる。

２周するとき、図Ｄの中央の図になる。
１周あたりの線分の数は
$\dfrac{9}{2}$
で整数にならないから、正多角形はできない。

３周するとき、図Ｄの右の図になる。
１周あたりの線分の数は
$\dfrac{9}{3}=3$
なので、正３角形ができる。
図のように、この正３角形の各辺は３周分（$3$本）の線分が重なっている。

このことから、できる正多角形を$m$角形とすると、
$m$は$3$以上の$9$の約数 であることが分かる。
$m$が$3$以下の約数の場合、１角形とか２角形とかになってしまう。

また、図Ｄを見ると、正多角形ができるときは
緑の角の和 $=2\pi$
緑の角の数は辺の数$m$と等しい
だから、
$m\theta =2\pi$
$\theta=\dfrac{2\pi}{m}$式Ｄ
とかける。

いま、$\theta$の範囲は
$ 0 \lt \theta \lt \pi$
だけど、これに式Ｄを代入すると
$ 0 \lt \dfrac{2\pi}{m} \lt \pi$
より、$m$の範囲は
$2 \lt m$
となる。

以上より、
$\mathrm{A}_{1}$と$\mathrm{A}_{10}$が重なるとき、折れ線がつくる正多角形の数は $3$以上の$9$の約数の個数と等しい ので、
$3$以上の$9$の約数の数だけ条件を満たす$w$が存在する ことが分かる。

このことから、
$\mathrm{A}_{1}$と$\mathrm{A}_{25}$が重なるとき、$3$以上の$24$の約数の数だけ 条件を満たす$w$が存在する と考えられる。

$3$以上の$24$の約数は
$3$，$4$，$6$，$8$，$12$，$24$
の６個ある。

したがって、条件を満たす$w$も６個ある。

解答オ：６

最後に、点$\mathrm{A}_{1}$～$\mathrm{A}_{n}$がつくる正多角形の内接円（図Ｅの緑の円）の周上にある点$z$について問われている。

図の固定

図Ｅの緑の円の中心は原点だ。
よって、原点と点$z$の距離はつねに等しいから、$\left|z\right|$ は一定である。
ということで、$\left|z\right|$ を求めよう。

点$z$ が図Ｅの位置にあるときの $\left|z\right|$ を考える。
点$z$ は点$\mathrm{A}_{1}(w)$ と点$\mathrm{A}_{n-1}(1)$ の中点なので、
$z=\dfrac{w+1}{2}$
とかける。

したがって、
$\left|z\right|=\left|\dfrac{w+1}{2}\right|$
と表せるので、解答群のうち正しいものは
⑥
である。

解答カ：６