大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 試作問題 数学ⅡＢC 第７問 [1] 解説

解説

$a=2$，$b\geqq 0$，$c=-8$，$d=-4$，$f=0$
のときの方程式
$ax^{2}+by^{2}+cx+dy+f=0$

つまり
$2x^{2}+by^{2}-8x-4y=0\quad$（$b\geqq 0$）
式Ａ
について考える。

まず、２次曲線の式の復習をしておこう。

復習１

２次曲線の基本の式は
放物線：$p\neq 0$ として、
$y^{2}=4px$ $x^{2}=4py$ 楕円：$a \gt 0$，$b \gt 0$ として、
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\quad$（$a=b$ のとき円） 双曲線：$a \gt 0$，$b \gt 0$ として、
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$

だった。

これを平行移動した式についても復習しておく。

復習２

$xy$平面上の図形を
$x$ 軸方向に $p$
$y$ 軸方向に $q$
平行移動した図形の式は、もとの図形の式の
$x$ に $(x-p)$ を
$y$ に $(y-q)$ を
代入したものである。

よって、復習１の２次曲線の式を復習２のように平行移動した式は、$A$，$B$，$C$ を正の実数として

 ※ 放物線
$x=y$の２次式 $y=x$の２次式 式Ｂ 楕円
$\dfrac{(x-p)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1$
（$a=b$ のとき円）式Ｃ 双曲線
$\dfrac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=\pm 1$
$\qquad$式Ｄ とかける。
式Ａに $xy$ の項がないから、ここでは回転移動は考えない。

いま問われているのは式Ａが表す図形の種類だ。
なので、式Ａを変形して、式Ｂ，式Ｃ，式Ｄのどの形になるか考えよう。
その他の形になれば、そのとき考えることにする。

というわけで、式Ａを変形する。
変形は具体的には平方完成だから、$b=0$ のときと $b \gt 0$ のときに場合分けしないといけない。。

$b=0$ のとき

式Ａは
$2x^{2}-8x-4y=0$
より

$y=\dfrac{1}{4}\left(2x^{2}-8x\right)$
となるけど、これは※の式Ｂの形だから、放物線の方程式だ。

したがって、
コンピューターソフトの座標平面上に放物線が現れることがある。

$b \gt 0$ のとき

式Ａは

途中式 $\begin{aligned} & 2\left(x^{2}-4x+4-4\right)\\ &\qquad+b\left\{y^{2}-\dfrac{4}{b}y+\left(\dfrac{2}{b}\right)^{2}-\left(\dfrac{2}{b}\right)^{2}\right\}=0 \end{aligned}$
$\begin{aligned} & 2\left(x-2\right)^{2}-2\cdot 4\\ &\qquad+b\left(y-\dfrac{2}{b}\right)^{2}-b\left(\dfrac{2}{b}\right)^{2}=0 \end{aligned}$
$\begin{aligned} & 2\left(x-2\right)^{2}+b\left(y-\dfrac{2}{b}\right)^{2}\\ &\hspace{60px}=2\cdot 4+b\left(\dfrac{2}{b}\right)^{2}\class{tex_formula}{式Ｅ} \end{aligned}$
と平方完成できる。

いま $b \gt 0$ なので、この式の右辺は正だ。

この右辺を $M$（$M \gt 0$）とおくと、式Ｅは

途中式 $2\left(x-2\right)^{2}+b\left(y-\dfrac{2}{b}\right)^{2}=M$
$\dfrac{2\left(x-2\right)^{2}}{M}+\dfrac{b\left(y-\cfrac{2}{b}\right)^{2}}{M}=1$
$\dfrac{\left(x-2\right)^{2}}{\textcolor{red}{\cfrac{M}{2}}}+\dfrac{\left(y-\cfrac{2}{b}\right)^{2}}{\textcolor{red}{\cfrac{M}{b}}}=1\class{tex_formula}{式Ｆ}$
と変形できる。

この式の赤い部分は正だから、式Ｃの形だ。

よって、 式Ｆの赤い部分が等しいとき、つまり
$b=2$
のとき、式Ａは円の方程式
 それ以外、つまり
$0 \lt b \lt 2$，$2 \lt b$
のとき、式Ａは円以外の楕円の方程式
 になるので、
コンピューターソフトの座標平面上に楕円と円が現れることがある。

$b\geqq 0$ の範囲で これ以外の場合はないので、他の図形は現れない。

以上より、$b$ が $b\geqq 0$ の範囲で変化するとき、コンピューターソフトの座標平面上に現れる図形は
放物線 円 楕円 だけであることが分かる。

したがって、アの解答群のうち正しいものは
②
である。

解答ア：２

アドバイス

２次曲線の形の見分け方に

復習３

$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$
が２次曲線の式であるとき、
$D=b^{2}-4ac$
とおくと、グラフの形は
$D \lt 0 \Leftrightarrow$ 楕円
（$b=0$ かつ $a=c$ のとき円）
$D=0 \Leftrightarrow$ 放物線
$0 \lt D \Leftrightarrow$ 双曲線

っていうのがあった。

いまは
$2x^{2}+by^{2}-8x-4y=0\quad$（$b\geqq 0$）
を考えているので、
$D=0^{2}-4\cdot 2\cdot b=-8b$
だから、復習より

$D=0$ つまり $b=0$ のとき、放物線 $D \lt 0$ つまり $b \gt 0$ のとき、楕円
特に $b=2$ のとき、円

となって、解答群のうち正しいものは②
って簡単に解けるじゃん。何でこの方法を使わないの？
という疑問を持つ人もいると思う。

確かに正解は求められたけど、偶然そういう問題だったからで、いつもうまくゆくとは限らない。

注意しなければいけないのは、復習３の
「２次曲線の式であるとき」
の部分だ。
２次曲線の式じゃないときには、復習３の方法は使えない。
なので、その確認をしないといけない。

この問題の場合には、上の解説のように、式Ａは
$b=0$ のとき、式Ｂの形に
$b \gt 0$ のとき、平方完成すると式Ｃの形に
変形できるから、$b \geqq 0$ の範囲で２次曲線の式だ。
けれど、それを確認する作業だけで問題が解けてしまう。

そのほか、例えば
$D=0$ かつ｛$2ae-bd\neq 0$ または（$b=0$ かつ $a$，$c$ の一方が $0$）｝のとき、グラフは２次曲線の放物線 みたいな見分け方もある。
$b\neq 0$ のときには便利だけれど、共通テストで出題される可能性は低い。
この複雑な条件を憶えるよりも、平方完成して解いた方がいい。