大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 追試 数学ⅠＡ 第１問 [1] 解説
解説
①式を変形すると
$50(x^{2}+y^{2})-(x+7y)^{2}=0$
$(50x^{2}+50y^{2})-(x^{2}+14xy+49y^{2})=0$
$49x^{2}-14xy+y^{2}=0$
$(7x-y)^{2}=0$
となる。
解答ア：７
よって、
$7x-y=0$
だから
$y=7x$式Ａ
である。
これを②式に代入すると、
$-4\sqrt{3}x+7x=1$
とかける。
これを$x$について解くと、
$(7-4\sqrt{3})x=1$
より
$x=\dfrac{1}{7-4\sqrt{3}}$
となる。
この式の右辺の分母を有理化して、$x$は
$$
\begin{align}
x&=\dfrac{7+4\sqrt{3}}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})}\\
&=\dfrac{7+4\sqrt{3}}{49-48}\\
&=7+4\sqrt{3}\class{tex_formula}{式Ｂ}
\end{align}
$$
である。
解答イ：７, ウ：４
$x^{2}+y^{2}-50$
に式Ａを代入すると、
$x^{2}+y^{2}-50=x^{2}+(7x)^{2}-50$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{x^{2}+y^{2}-50}&=x^{2}+49x^{2}-50\\
&=50x^{2}-50\\
&=50(x^{2}-1)\\
\end{align}
$$
とかける。
これに式Ｂを代入して、
途中式
$$
\begin{align}
x^{2}+y^{2}-50&=50\{(7+4\sqrt{3})+1\}\\&\hspace{60px}\{(7+4\sqrt{3})-1\}\\
&=50(8+4\sqrt{3})(6+4\sqrt{3})\\
&=50\cdot 4(2+\sqrt{3})\cdot 2(3+2\sqrt{3})\\
&=400(6+4\sqrt{3}+3\sqrt{3}+6)
\end{align}
$$
より
となる。
解答エ：１, オ：２, カ：７